Номер 3.6, страница 63 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

3.6. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) высоту $BH$ продлили за точку $H$ и на продолжении отметили точку $P$ так, что $BH = HP$. Докажите, что $ABCP$ — параллелограмм.

Рассмотрим четырехугольник $ABCP$. Его диагоналями являются отрезки $AC$ и $BP$, которые пересекаются в точке $H$.

По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, то есть $AB = BC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой. Следовательно, высота $BH$ делит основание $AC$ на два равных отрезка: $AH = HC$. Это означает, что точка $H$ является серединой диагонали $AC$.

Также по условию задачи, на продолжении высоты $BH$ за точку $H$ отмечена точка $P$ таким образом, что $BH = HP$. Это означает, что точка $H$ является серединой диагонали $BP$.

Таким образом, мы установили, что диагонали четырехугольника $ABCP$ ($AC$ и $BP$) пересекаются в точке $H$ и делятся этой точкой пополам.

Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом. Так как это условие выполняется для четырехугольника $ABCP$, он является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $ABCP$ является параллелограммом, поскольку его диагонали $AC$ и $BP$ пересекаются в точке $H$ и делятся ею пополам (так как $BH$ — медиана в равнобедренном $\triangle ABC$, что дает $AH = HC$, и по условию $BH = HP$).