Номер 3.2, страница 62 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

3.2. a) $ABCD$ — параллелограмм, точки $K$ и $M$ делят диагональ $BD$ на три равные части. Докажите, что $AKCM$ — параллелограмм.

б) $ABCD$ — параллелограмм, точки $K$, $L$ и $M$ делят диагональ $AC$ на равные отрезки $AK$, $KL$, $LM$ и $MC$. Докажите, что $BMDK$ — параллелограмм.

а)

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, точки $K$ и $M$ лежат на диагонали $BD$, причём $BK = KM = MD$.
Доказать: $AKCM$ — параллелограмм.

Доказательство:
1. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$. По свойству диагоналей параллелограмма, они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $O$ является серединой диагонали $AC$ (т.е. $AO=OC$) и серединой диагонали $BD$ (т.е. $BO=OD$).
2. По условию, точки $K$ и $M$ делят диагональ $BD$ на три равные части: $BK = KM = MD$. Пусть длина каждого из этих отрезков равна $x$, тогда $BK = KM = MD = x$. Вся диагональ $BD = BK + KM + MD = 3x$.
3. Поскольку $O$ — середина $BD$, то $BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{3x}{2} = 1.5x$.
4. Рассмотрим расположение точек $K$ и $M$ относительно точки $O$. Будем считать, что точки на диагонали расположены в порядке $B, K, M, D$.
5. Найдем длину отрезка $OK$. Отрезок $OK = BO - BK = 1.5x - x = 0.5x$.
6. Найдем длину отрезка $OM$. Отрезок $OM = OD - MD = 1.5x - x = 0.5x$.
7. Таким образом, мы получили, что $OK = OM$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $KM$.
8. Ранее мы установили, что точка $O$ также является серединой диагонали $AC$ четырехугольника $AKCM$.
9. Диагонали четырехугольника $AKCM$ — это отрезки $AC$ и $KM$. Мы доказали, что они пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам ($AO=OC$ и $KO=OM$).
10. Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.
Следовательно, $AKCM$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, точки $K$, $L$ и $M$ лежат на диагонали $AC$, причём $AK = KL = LM = MC$.
Доказать: $BMDK$ — параллелограмм.

Доказательство:
1. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$. По свойству диагоналей параллелограмма, они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, $O$ является серединой диагонали $BD$ ($BO=OD$) и серединой диагонали $AC$ ($AO=OC$).
2. По условию, точки $K, L, M$ делят диагональ $AC$ на четыре равных отрезка: $AK = KL = LM = MC$. Пусть длина каждого из этих отрезков равна $y$, то есть $AK = KL = LM = MC = y$.
3. Найдем середину диагонали $AC$. Полная длина $AC = AK+KL+LM+MC = 4y$. Середина диагонали $AC$ находится на расстоянии $\frac{AC}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$ от точки $A$.
4. Рассмотрим точку $L$. Расстояние от $A$ до $L$ равно $AL = AK + KL = y + y = 2y$. Таким образом, точка $L$ является серединой диагонали $AC$.
5. Так как и точка $O$, и точка $L$ являются серединой одного и того же отрезка $AC$, то точки $O$ и $L$ совпадают ($O \equiv L$).
6. Рассмотрим четырехугольник $BMDK$. Его диагоналями являются отрезки $BD$ и $KM$.
7. Мы знаем, что точка $O$ (которая совпадает с $L$) является серединой диагонали $BD$ ($BO=OD$).
8. Теперь проверим, является ли точка $L$ (она же $O$) серединой второй диагонали $KM$. По условию, $KL = y$ и $LM = y$. Так как $KL = LM$, точка $L$ является серединой отрезка $KM$.
9. Таким образом, диагонали четырехугольника $BMDK$ (отрезки $BD$ и $KM$) пересекаются в точке $L$ и делятся этой точкой пополам ($BO=OD$ и $KL=LM$).
10. Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.
Следовательно, $BMDK$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.