Номер 3.1, страница 62 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

3.1. Пользуясь данными рисунков 112, а)—г), докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм.

а)На рисунке а) даны: AB = 7, CD = 7, $\angle A = 28^\circ$, $\angle D = 28^\circ$.

б)На рисунке б) даны: AD = 17, BC = 17, $\angle A = 32^\circ$, $\angle B = 148^\circ$.

в)На рисунке в) даны: AB = 9, CD = 9, AD = 20, BC = 20.

г)На рисунке г) даны: AD = 7, BC = 7, AO = 4, OC = 4, BO = 4, OD = 4.

Рис. 112

а)

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По данным рисунка имеем: $AB = 7$ и $CD = 7$, следовательно, стороны $AB$ и $CD$ равны. Также даны углы $\angle ABD = 28^\circ$ и $\angle BDC = 28^\circ$.

Углы $\angle ABD$ и $\angle BDC$ являются накрест лежащими углами при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $BD$. Поскольку эти углы равны ($\angle ABD = \angle BDC$), то по признаку параллельности двух прямых, прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).

В четырехугольнике $ABCD$ две противолежащие стороны ($AB$ и $CD$) равны и параллельны. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, так как его противолежащие стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны.

б)

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По данным рисунка имеем: $BC = 17$ и $AD = 17$, следовательно, стороны $BC$ и $AD$ равны. Также даны углы $\angle BAD = 32^\circ$ и $\angle ABC = 148^\circ$.

Углы $\angle BAD$ и $\angle ABC$ являются внутренними односторонними углами при пересечении прямых $BC$ и $AD$ секущей $AB$. Найдем их сумму:

$\angle BAD + \angle ABC = 32^\circ + 148^\circ = 180^\circ$

Поскольку сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то по признаку параллельности двух прямых, прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

В четырехугольнике $ABCD$ две противолежащие стороны ($BC$ и $AD$) равны и параллельны. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, так как его противолежащие стороны $BC$ и $AD$ равны и параллельны.

в)

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По данным рисунка имеем:

Длины противолежащих сторон $AB$ и $CD$ равны $9$, следовательно, $AB = CD$.

Длины противолежащих сторон $BC$ и $AD$ равны $20$, следовательно, $BC = AD$.

Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Так как в четырехугольнике $ABCD$ обе пары противолежащих сторон равны, то он является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, так как его противолежащие стороны попарно равны ($AB=CD$ и $BC=AD$).

г)

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором проведены диагонали $AC$ и $BD$, пересекающиеся в точке $O$.

Из расположения числовых обозначений на рисунке следует, что они указывают на длины отрезков, на которые диагонали делятся точкой пересечения:

Сегменты диагонали $BD$: $BO = 4$ и $OD = 4$. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $BD$.

Сегменты диагонали $AC$: $AO = 7$ и $OC = 7$. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $AC$.

Таким образом, диагонали $AC$ и $BD$ в точке пересечения $O$ делятся пополам.

Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, так как его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.