Номер 2.15, страница 61 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.15. a) В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает прямую $CD$ в точке $M$, а биссектриса угла $B$ пересекает прямую $CD$ в точке $N$. Длина отрезка $MN$ в 5 раз больше длины стороны $CD$ параллелограмма. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 32 см.

б) В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $K$ так, что $BC : CK = 2 : 1$. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 20 см.

а)

Пусть стороны параллелограмма $ABCD$ равны $AB = CD = a$ и $BC = AD = b$. Периметр параллелограмма равен $P = 2(a+b)$. По условию, $P = 32$ см, следовательно, $2(a+b) = 32$, или $a+b=16$.

Рассмотрим биссектрису угла $A$, которая пересекает прямую $CD$ в точке $M$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$). Прямая $AM$ является секущей. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, поэтому $\angle MAB = \angle AMD$. Поскольку $AM$ — биссектриса угла $A$, то $\angle DAM = \angle MAB$. Из этих двух равенств следует, что $\angle DAM = \angle AMD$. Это означает, что треугольник $\triangle ADM$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AD = DM$. Так как $AD=b$, то $DM=b$.

Аналогично рассмотрим биссектрису угла $B$, которая пересекает прямую $CD$ в точке $N$. Так как $AB \parallel CD$, то секущая $BN$ образует равные внутренние накрест лежащие углы: $\angle ABN = \angle BNC$. Поскольку $BN$ — биссектриса угла $B$, то $\angle CBN = \angle ABN$. Следовательно, $\angle CBN = \angle BNC$. Это означает, что треугольник $\triangle BCN$ является равнобедренным с равными сторонами $BC = CN$. Так как $BC=b$, то $CN=b$.

Точки $M$ и $N$ лежат на прямой $CD$. Биссектриса угла $A$ пересекает продолжение стороны $CD$ за точку $D$. Биссектриса угла $B$ пересекает продолжение стороны $DC$ за точку $C$. Таким образом, точки на прямой располагаются в последовательности $N-C-D-M$. Длина отрезка $MN$ равна сумме длин отрезков $NC$, $CD$ и $DM$: $MN = NC + CD + DM = b + a + b = a + 2b$.

По условию задачи, длина отрезка $MN$ в 5 раз больше длины стороны $CD$: $MN = 5 \cdot CD$. Подставим наши выражения: $a + 2b = 5a$. Упростим это уравнение: $2b = 4a$, откуда $b = 2a$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $a+b=16$
2) $b=2a$
Подставим второе уравнение в первое: $a + 2a = 16$.
$3a = 16 \implies a = \frac{16}{3}$ см.
Теперь найдем $b$: $b = 2a = 2 \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$ см.

Таким образом, стороны параллелограмма равны $\frac{16}{3}$ см и $\frac{32}{3}$ см.
Ответ: Стороны параллелограмма равны $\frac{16}{3}$ см и $\frac{32}{3}$ см.

б)

Пусть стороны параллелограмма $ABCD$ равны $AB = CD = a$ и $BC = AD = b$. Периметр параллелограмма равен $P = 2(a+b)$. По условию, $P = 20$ см, следовательно, $2(a+b) = 20$, или $a+b=10$.

Биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AD \parallel BC$. Прямая $AK$ является секущей. Внутренние накрест лежащие углы равны: $\angle DAK = \angle BKA$. Поскольку $AK$ — биссектриса угла $A$, то $\angle KAB = \angle DAK$. Из этих двух равенств следует, что $\angle KAB = \angle BKA$. Это означает, что треугольник $\triangle ABK$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AB = BK$. Так как $AB=a$, то $BK=a$.

По условию, $BC : CK = 2 : 1$, что означает $BC = 2 \cdot CK$. Точка $K$ лежит на стороне $BC$, поэтому $BC = BK + CK$. Так как $BC = b$, то $CK = \frac{BC}{2} = \frac{b}{2}$. Подставим известные нам величины в равенство $BC = BK + CK$: $b = a + \frac{b}{2}$.

Решим это уравнение относительно $a$: $a = b - \frac{b}{2} = \frac{b}{2}$. Отсюда получаем соотношение между сторонами: $b = 2a$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $a+b=10$
2) $b=2a$
Подставим второе уравнение в первое: $a + 2a = 10$.
$3a = 10 \implies a = \frac{10}{3}$ см.
Теперь найдем $b$: $b = 2a = 2 \cdot \frac{10}{3} = \frac{20}{3}$ см.

Таким образом, стороны параллелограмма равны $\frac{10}{3}$ см и $\frac{20}{3}$ см.
Ответ: Стороны параллелограмма равны $\frac{10}{3}$ см и $\frac{20}{3}$ см.