Номер 2.8, страница 59 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.8. В параллелограмме $ABCD$ сторона $AB$ в два раза больше стороны $BC$, а точка $M$ — середина $AB$. Докажите, что угол $CMD$ прямой.

По условию, дан параллелограмм $ABCD$, в котором сторона $AB$ в два раза больше стороны $BC$. Обозначим длину стороны $BC$ как $a$, тогда длина стороны $AB$ будет $2a$.

$BC = a \implies AB = 2a$.

По свойствам параллелограмма, его противоположные стороны равны:
$AD = BC = a$
$CD = AB = 2a$

Точка $M$ является серединой стороны $AB$. Следовательно, она делит сторону $AB$ на два равных отрезка:
$AM = MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(2a) = a$.

Теперь рассмотрим треугольники $ADM$ и $BCM$.

• В треугольнике $ADM$ стороны $AM = a$ и $AD = a$. Так как две стороны равны ($AM = AD$), то треугольник $ADM$ является равнобедренным с основанием $DM$.
• В треугольнике $BCM$ стороны $MB = a$ и $BC = a$. Так как две стороны равны ($MB = BC$), то треугольник $BCM$ является равнобедренным с основанием $CM$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$. Обозначим $\angle A = \alpha$, тогда $\angle B = 180^{\circ} - \alpha$. Также, противолежащие углы равны, поэтому $\angle C = \alpha$ и $\angle D = 180^{\circ} - \alpha$.

Найдем углы в равнобедренных треугольниках:

• В $\triangle ADM$ углы при основании равны $\angle ADM = \angle AMD = \frac{180^{\circ} - \angle A}{2} = \frac{180^{\circ} - \alpha}{2} = 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2}$.
• В $\triangle BCM$ углы при основании равны $\angle BCM = \angle BMC = \frac{180^{\circ} - \angle B}{2} = \frac{180^{\circ} - (180^{\circ} - \alpha)}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Теперь найдем углы $\angle MDC$ и $\angle MCD$, которые являются углами треугольника $CMD$.

• Угол $D$ параллелограмма $\angle ADC$ состоит из двух углов: $\angle ADM$ и $\angle MDC$. Значит, $\angle MDC = \angle ADC - \angle ADM$.
  $\angle MDC = (180^{\circ} - \alpha) - (90^{\circ} - \frac{\alpha}{2}) = 180^{\circ} - \alpha - 90^{\circ} + \frac{\alpha}{2} = 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2}$.
• Угол $C$ параллелограмма $\angle BCD$ состоит из двух углов: $\angle BCM$ и $\angle MCD$. Значит, $\angle MCD = \angle BCD - \angle BCM$.
  $\angle MCD = \alpha - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Наконец, рассмотрим сумму углов в треугольнике $CMD$:
$\angle CMD + \angle MDC + \angle MCD = 180^{\circ}$.
Подставим найденные значения углов:
$\angle CMD + (90^{\circ} - \frac{\alpha}{2}) + (\frac{\alpha}{2}) = 180^{\circ}$.
$\angle CMD + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle CMD = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

Таким образом, доказано, что угол $CMD$ — прямой.

Ответ: Угол $CMD$ равен $90^{\circ}$, что и требовалось доказать.