Номер 2.5, страница 59 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.5. a) В параллелограмме $ABCD$ градусные меры двух углов относятся как $2 : 3$. Найдите величины всех углов параллелограмма.

б) В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ равен $30^\circ$. Найдите отношение градусных мер углов параллелограмма.

а)

В параллелограмме есть два свойства, касающиеся углов:

1. Противолежащие углы равны (например, $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$).
2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$ (например, $\angle A + \angle B = 180^\circ$).

По условию, отношение градусных мер двух углов равно $2:3$. Эти углы не могут быть противолежащими, так как их отношение было бы $1:1$. Следовательно, это соседние углы.

Пусть один угол равен $2x$, а смежный с ним угол равен $3x$. Их сумма равна $180^\circ$.

Составим и решим уравнение:

$2x + 3x = 180^\circ$

$5x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{5}$

$x = 36^\circ$

Теперь найдем величины углов:

Меньший угол: $2x = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$.

Больший угол: $3x = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$.

Поскольку противолежащие углы в параллелограмме равны, то в нем две пары равных углов. Таким образом, все углы параллелограмма равны $72^\circ, 108^\circ, 72^\circ, 108^\circ$.

Ответ: $72^\circ, 108^\circ, 72^\circ, 108^\circ$.

б)

В параллелограмме $ABCD$ известен угол $\angle A = 30^\circ$.

Используя свойства углов параллелограмма, найдем остальные углы.

Угол, противолежащий углу $A$, равен ему: $\angle C = \angle A = 30^\circ$.

Угол, прилежащий к углу $A$, например угол $B$, в сумме с ним дает $180^\circ$:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Угол, противолежащий углу $B$, равен ему: $\angle D = \angle B = 150^\circ$.

Таким образом, в параллелограмме есть две различные величины углов: $30^\circ$ и $150^\circ$.

Найдем отношение их градусных мер. Для этого составим пропорцию и сократим ее:

$30 : 150$

Разделим обе части отношения на их наибольший общий делитель, равный 30:

$\frac{30}{30} : \frac{150}{30}$

$1 : 5$

Ответ: $1:5$.