Номер 1.10, страница 57 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

1.10. a) Сумма углов выпуклого многоугольника равна 1440°.

Найдите количество его диагоналей.

б) Сумма углов выпуклого многоугольника равна 1980°.

Найдите количество его внутренних углов.

a) Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле $S = 180^\circ \cdot (n - 2)$, где $n$ — количество углов (и сторон) многоугольника. По условию задачи, сумма углов равна $1440^\circ$. Подставим это значение в формулу, чтобы найти количество сторон $n$:
$1440^\circ = 180^\circ \cdot (n - 2)$
$n - 2 = \frac{1440^\circ}{180^\circ}$
$n - 2 = 8$
$n = 8 + 2 = 10$
Таким образом, многоугольник имеет 10 сторон (это десятиугольник).
Количество диагоналей $D$ выпуклого n-угольника определяется формулой $D = \frac{n(n - 3)}{2}$. Подставим найденное значение $n = 10$:
$D = \frac{10(10 - 3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = \frac{70}{2} = 35$
Ответ: 35

б) Количество внутренних углов выпуклого многоугольника равно количеству его сторон $n$. Для нахождения $n$ воспользуемся формулой для суммы внутренних углов: $S = 180^\circ \cdot (n - 2)$.
По условию, сумма углов равна $1980^\circ$. Подставляем это значение в формулу и решаем уравнение относительно $n$:
$1980^\circ = 180^\circ \cdot (n - 2)$
$n - 2 = \frac{1980^\circ}{180^\circ}$
$n - 2 = \frac{198}{18}$
$n - 2 = 11$
$n = 11 + 2 = 13$
Следовательно, многоугольник имеет 13 сторон, а значит, и 13 внутренних углов.
Ответ: 13