Номер 1.5, страница 56 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

1.5. a) Найдите количество диагоналей выпуклого 12-угольника.

б) Найдите количество сторон выпуклого многоугольника, если у него 9 диагоналей.

Для решения обеих частей задачи воспользуемся общей формулой для нахождения числа диагоналей $D$ выпуклого $n$-угольника. Диагональ — это отрезок, соединяющий две любые несоседние вершины многоугольника. Общее число отрезков, которые можно провести между $n$ вершинами, равно числу сочетаний из $n$ по 2: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$. Это число включает в себя как диагонали, так и стороны. Поскольку у $n$-угольника ровно $n$ сторон, для нахождения числа диагоналей нужно вычесть количество сторон из общего числа отрезков.

Формула для числа диагоналей $D$ в выпуклом $n$-угольнике:

$D = C_n^2 - n = \frac{n(n-1)}{2} - n = \frac{n^2 - n - 2n}{2} = \frac{n^2 - 3n}{2} = \frac{n(n-3)}{2}$

а) Найдите количество диагоналей выпуклого 12-угольника.

В данной задаче количество вершин (и сторон) многоугольника $n = 12$. Подставим это значение в нашу формулу:

$D = \frac{12(12-3)}{2}$

Проведем вычисления:

$D = \frac{12 \cdot 9}{2} = \frac{108}{2} = 54$

Следовательно, у выпуклого 12-угольника 54 диагонали.

Ответ: 54.

б) Найдите количество сторон выпуклого многоугольника, если у него 9 диагоналей.

В этой задаче известно количество диагоналей $D = 9$. Нам необходимо найти количество сторон $n$. Используем ту же формулу, подставив известное значение $D$:

$9 = \frac{n(n-3)}{2}$

Для решения этого уравнения относительно $n$, умножим обе части на 2:

$18 = n(n-3)$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $an^2+bn+c=0$:

$18 = n^2 - 3n$

$n^2 - 3n - 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: ищем два числа, произведение которых равно -18, а сумма равна 3. Эти числа — 6 и -3.

Таким образом, корни уравнения: $n_1 = 6$ и $n_2 = -3$.

По определению, число сторон многоугольника $n$ должно быть целым положительным числом, не меньшим 3 ($n \ge 3$). Поэтому корень $n = -3$ не имеет геометрического смысла и является посторонним для нашей задачи. Единственным подходящим решением является $n = 6$.

Следовательно, данный многоугольник имеет 6 сторон (это шестиугольник).

Ответ: 6.