Номер 31.7, страница 54 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

31.7*:

Вершина угла находится за пределами доступной части плоскости. Как построить часть биссектрисы этого угла?

Для построения части биссектрисы угла, вершина которого находится за пределами доступной части плоскости, можно воспользоваться её основным свойством: любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Алгоритм построения заключается в нахождении двух таких точек в доступной области и проведении через них прямой.

Пусть стороны угла заданы прямыми $l_1$ и $l_2$. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Найдём первую точку искомой биссектрисы. Для этого выберем произвольное расстояние $d_1$ и построим две вспомогательные прямые:

   • Прямую $m_1$, параллельную прямой $l_1$ и отстоящую от нее на расстояние $d_1$ (внутри угла). Для её построения можно взять на $l_1$ две произвольные точки, восстановить из них перпендикуляры внутрь угла и отложить на этих перпендикулярах отрезки длиной $d_1$. Прямая, проходящая через концы этих отрезков, и будет $m_1$.
   • Аналогичным образом построим прямую $m_2$, параллельную прямой $l_2$ и отстоящую от нее на то же расстояние $d_1$.

   Точка пересечения этих прямых, назовём её $P_1$, по построению равноудалена от $l_1$ и $l_2$, а значит, лежит на биссектрисе.

2. Для построения прямой необходима вторая точка. Найдём её аналогично, но используя другое расстояние $d_2$, не равное $d_1$ (например, $d_2 > d_1$). Построим:

   • Прямую $n_1$, параллельную $l_1$ на расстоянии $d_2$.
   • Прямую $n_2$, параллельную $l_2$ на расстоянии $d_2$.

   Точка их пересечения, $P_2$, также будет лежать на биссектрисе.

3. Проведём прямую через найденные точки $P_1$ и $P_2$. Эта прямая и есть искомая часть биссектрисы угла.

Обоснование: Построение основано на определении биссектрисы как геометрического места точек, равноудаленных от сторон угла. Расстояние от точки $P_1$ до прямых $l_1$ и $l_2$ равно $d_1$. Расстояние от точки $P_2$ до прямых $l_1$ и $l_2$ равно $d_2$. Так как точки $P_1$ и $P_2$ равноудалены от сторон угла, они обе лежат на его биссектрисе. Прямая, проведенная через эти две точки, является искомой биссектрисой.

Ответ: Искомая часть биссектрисы – это прямая, проходящая через две точки ($P_1$ и $P_2$), каждая из которых построена как точка пересечения двух прямых, параллельных сторонам исходного угла и отстоящих от них на одинаковое расстояние ($d_1$ для $P_1$ и $d_2$ для $P_2$).