Номер 31.1, страница 54 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

31.1. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

31.1.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек плоскости, обладающих определённым свойством. В данном случае свойство точки заключается в том, что она находится на одинаковом расстоянии от двух данных параллельных прямых.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$. Расстояние от точки до прямой измеряется по длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Докажем, что искомое ГМТ есть прямая, параллельная данным и проходящая посередине между ними. Для этого нужно доказать два взаимно обратных утверждения.

1. Каждая точка срединной прямой равноудалена от данных прямых.

Пусть прямая $c$ параллельна прямым $a$ и $b$ ($a \parallel c \parallel b$) и проходит посередине между ними. Возьмём на прямой $c$ произвольную точку $M$. Проведём через точку $M$ прямую, перпендикулярную прямым $a$ и $b$. Пусть она пересекает прямую $a$ в точке $A$ и прямую $b$ в точке $B$.

По определению, расстояние от точки $M$ до прямой $a$ равно длине отрезка $MA$, а до прямой $b$ — длине отрезка $MB$. Так как прямая $c$ по построению является срединной для прямых $a$ и $b$, она делит пополам любой общий перпендикуляр к ним, в том числе и отрезок $AB$. Следовательно, точка $M$ является серединой отрезка $AB$, откуда следует, что $MA = MB$.

Таким образом, любая точка на прямой $c$ равноудалена от прямых $a$ и $b$.

2. Каждая точка, равноудаленная от данных прямых, лежит на срединной прямой.

Пусть точка $N$ равноудалена от прямых $a$ и $b$. Опустим из точки $N$ перпендикуляры $NA'$ на прямую $a$ и $NB'$ на прямую $b$ (где $A'$ и $B'$ — основания перпендикуляров).

По условию, $NA' = NB'$. Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, а отрезки $NA'$ и $NB'$ оба перпендикулярны им, то точки $A'$, $N$ и $B'$ лежат на одной прямой. Это означает, что точка $N$ является серединой отрезка $A'B'$, который перпендикулярен обеим данным прямым.

Множество всех точек, являющихся серединами общих перпендикуляров к двум параллельным прямым, образует прямую, параллельную данным и проходящую посередине между ними. Следовательно, точка $N$ принадлежит этой прямой.

Из двух доказанных утверждений следует, что искомое ГМТ — это прямая, параллельная данным прямым и проходящая посередине между ними.

Ответ: Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых, есть прямая, параллельная этим прямым и проходящая посередине между ними.