Номер 29.3, страница 53 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

29.3. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла.

Для построения треугольника по заданной стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе этого угла, необходимо выполнить последовательность шагов, используя циркуль и линейку.

Пусть нам даны: отрезок $a$, равный стороне будущего треугольника; угол $\beta$, прилежащий к этой стороне; и отрезок $l_b$, равный биссектрисе, проведенной из вершины угла $\beta$. Мы будем строить треугольник $ABC$, в котором сторона $BC = a$, угол $\angle ABC = \beta$, и биссектриса $BD = l_b$ (где точка $D$ — это точка пересечения биссектрисы со стороной $AC$).

Построение можно осуществить следующим образом:

1. Начертим прямую и отложим на ней отрезок $BC$, равный по длине стороне $a$.
2. В точке $B$ построим угол, равный данному углу $\beta$, так, чтобы луч $BC$ являлся одной из его сторон. Другую сторону угла обозначим как луч $BE$. Искомая вершина $A$ будет лежать на луче $BE$.
3. Далее построим биссектрису угла $\angle EBC$. Обозначим ее как луч $BF$.
4. На луче $BF$ от точки $B$ отложим отрезок $BD$, равный по длине данной биссектрисе $l_b$. Таким образом, мы определили положение точки $D$.
5. По условию, точка $D$ лежит на стороне $AC$. Это означает, что точки $A$, $D$ и $C$ лежат на одной прямой. Проведем прямую через точки $C$ и $D$.
6. Искомая вершина $A$ является точкой пересечения луча $BE$ (построенного на шаге 2) и прямой $CD$ (построенной на шаге 5).
7. Соединив точки $A, B, C$, мы получим искомый треугольник.

Докажем, что построенный треугольник удовлетворяет условиям. По построению, сторона $BC$ равна $a$. Угол $\angle ABC$ (совпадающий с $\angle EBC$) равен $\beta$. Отрезок $BD$ проведен по биссектрисе угла $\angle ABC$, его длина равна $l_b$, и он соединяет вершину $B$ с точкой $D$ на противоположной стороне $AC$. Следовательно, построенный треугольник является искомым.

Проведем исследование. Данная задача имеет решение, если построение выполнимо. Прямая $CD$ и луч $BE$ пересекутся в единственной точке $A$, если они не параллельны. Они не могут быть параллельны, так как в этом случае сумма углов $\angle B$ и $\angle C$ в треугольнике $ABC$ была бы равна $180^\circ$, что невозможно для невырожденного треугольника. Следовательно, при заданных $a > 0$, $l_b > 0$ и $0^\circ < \beta < 180^\circ$ задача всегда имеет единственное решение (с точностью до симметрии).

Ответ: Треугольник строится путем последовательного построения угла $\beta$ при вершине $B$ на стороне $BC=a$, проведения его биссектрисы $BD$ длиной $l_b$, и нахождения вершины $A$ как точки пересечения прямой $CD$ и второй стороны угла $\beta$.