Номер 28.9, страница 53 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

28.9. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к одной из этих сторон.

Пусть нам даны три отрезка, задающие длины двух сторон треугольника, $a$ и $b$, и длину высоты $h_a$, проведенной к стороне $a$. Требуется построить треугольник $ABC$ такой, что $BC = a$, $AC = b$, а высота, опущенная из вершины $A$ на прямую $BC$, равна $h_a$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $BC$ — его сторона, равная $a$, а $AC$ — сторона, равная $b$. Высота $AH$, опущенная из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$, по условию равна $h_a$.

Из этого следует, что вершина $A$ удалена от прямой $BC$ на расстояние $h_a$. Геометрическим местом точек, удаленных от данной прямой на заданное расстояние, являются две параллельные прямые. Следовательно, вершина $A$ должна лежать на одной из двух прямых, параллельных прямой $BC$ и отстоящих от нее на расстояние $h_a$.

Также мы знаем, что расстояние от вершины $A$ до вершины $C$ равно $b$. Это означает, что вершина $A$ должна лежать на окружности с центром в точке $C$ и радиусом $b$.

Таким образом, искомая вершина $A$ является точкой пересечения окружности с центром $C$ и радиусом $b$ и прямой, параллельной $BC$ и удаленной от нее на расстояние $h_a$.

Построение

На основе проведенного анализа можно предложить следующий алгоритм построения:

1. Проведем произвольную прямую $l$.
2. На прямой $l$ выберем произвольную точку $B$ и отложим отрезок $BC$, длина которого равна данной стороне $a$.
3. Построим прямую $m$, параллельную прямой $l$ и находящуюся на расстоянии $h_a$ от нее. Для этого можно в произвольной точке прямой $l$ (например, в точке $C$) восставить перпендикуляр к $l$, отложить на нем отрезок длиной $h_a$ и через его конец провести прямую $m$, параллельную $l$.
4. Построим окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине стороны $b$.
5. Точки пересечения построенной окружности и прямой $m$ являются возможными положениями вершины $A$. Обозначим одну из этих точек как $A$.
6. Соединим точки $A$, $B$ и $C$ отрезками. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ по построению равна $a$. Сторона $AC$ является радиусом окружности с центром в точке $C$, поэтому ее длина равна $b$. Вершина $A$ лежит на прямой $m$, которая по построению параллельна прямой $BC$ и находится на расстоянии $h_a$ от нее. Следовательно, высота треугольника, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$, равна $h_a$. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача может иметь разное количество решений в зависимости от соотношения длин $b$ и $h_a$.

• Если $b < h_a$, то окружность с центром $C$ и радиусом $b$ не пересечет прямую $m$, так как кратчайшее расстояние от центра окружности (точки $C$) до прямой $m$ равно $h_a$. В этом случае задача не имеет решений. Это логично, так как высота из вершины $A$ является катетом в прямоугольном треугольнике, где сторона $AC=b$ является гипотенузой, а гипотенуза не может быть короче катета.
• Если $b = h_a$, окружность касается прямой $m$ в одной точке. В этом случае существует единственное решение — прямоугольный треугольник, в котором сторона $AC$ является высотой, то есть угол $C$ прямой.
• Если $b > h_a$, окружность пересекает прямую $m$ в двух точках ($A_1$ и $A_2$). Это дает два треугольника ($A_1BC$ и $A_2BC$), каждый из которых является решением задачи. Эти треугольники в общем случае не равны друг другу.

Ответ: задача решается путем построения стороны $a$ на прямой, затем построения параллельной прямой на расстоянии $h_a$ и нахождения на ней вершины $A$ как точки пересечения с окружностью радиуса $b$. Задача имеет 0, 1 или 2 решения в зависимости от соотношения $b$ и $h_a$.