Номер 28.2, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

28.2. Постройте треугольник $ABC$ по отрезкам, длины которых равны длинам стороны $BC$, медианы $BM$ и высоты $BH$ ($BC > BH$, $BM > BH$).

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. В нем $BH$ — высота, проведенная к стороне $AC$, а $BM$ — медиана, проведенная к той же стороне. Это означает, что точка $H$ (основание высоты) и точка $M$ (середина стороны $AC$) лежат на прямой, содержащей сторону $AC$. Кроме того, по определению высоты, угол $BHA$ — прямой, следовательно, треугольник $BHM$ является прямоугольным с гипотенузой $BM$ и катетом $BH$.

Поскольку длины $BM$ и $BH$ заданы, мы можем построить прямоугольный треугольник $BHM$. Построив его, мы найдем положение вершины $B$ и точек $H$ и $M$. Эти точки определяют прямую $AC$.

Далее, вершина $C$ должна лежать на построенной прямой $AC$ и находиться на заданном расстоянии $BC$ от вершины $B$. Таким образом, точка $C$ является точкой пересечения прямой $AC$ и окружности с центром в точке $B$ и радиусом, равным $BC$.

Наконец, вершина $A$ также лежит на прямой $AC$, причем точка $M$ является серединой отрезка $AC$. Как только мы найдем положение точки $C$, мы можем однозначно определить положение точки $A$.

Таким образом, план построения следующий:1. Построить прямоугольный треугольник $BHM$ по гипотенузе $BM$ и катету $BH$.2. Найти вершину $C$ на прямой $HM$ на заданном расстоянии $BC$ от $B$.3. Найти вершину $A$ на прямой $HM$, используя тот факт, что $M$ — середина $AC$.

Построение

1. Проведем произвольную прямую $a$. На ней будет располагаться сторона $AC$ искомого треугольника.
2. На прямой $a$ выберем произвольную точку и обозначим ее $H$.
3. Через точку $H$ проведем прямую $b$, перпендикулярную прямой $a$.
4. На прямой $b$ отложим отрезок $BH$, равный по длине данной высоте. Таким образом, мы получаем вершину $B$.
5. Из точки $B$ как из центра проведем окружность с радиусом, равным длине данной медианы $BM$. По условию $BM > BH$, поэтому эта окружность пересечет прямую $a$ в двух точках. Выберем одну из них и обозначим ее $M$.
6. Из точки $B$ как из центра проведем окружность с радиусом, равным длине данной стороны $BC$. По условию $BC > BH$, поэтому эта окружность также пересечет прямую $a$ в двух точках. Обозначим эти точки $C_1$ и $C_2$.
7. Для каждой из найденных точек ($C_1$ и $C_2$) построим соответствующую вершину $A$:
   • Случай 1. Для точки $C_1$. На прямой $a$ отложим от точки $M$ в сторону, противоположную лучу $MC_1$, отрезок $MA_1$, равный отрезку $MC_1$. Получим точку $A_1$. Соединив точки $A_1$, $B$ и $C_1$, получим первый искомый треугольник $\triangle A_1BC_1$.
   • Случай 2. Для точки $C_2$. Аналогично, на прямой $a$ отложим от точки $M$ в сторону, противоположную лучу $MC_2$, отрезок $MA_2$, равный отрезку $MC_2$. Получим точку $A_2$. Соединив точки $A_2$, $B$ и $C_2$, получим второй искомый треугольник $\triangle A_2BC_2$.

Доказательство и исследование

Построенные треугольники $\triangle A_1BC_1$ и $\triangle A_2BC_2$ удовлетворяют всем условиям задачи. Действительно, в каждом из них:

• Высота, опущенная из вершины $B$ на прямую $AC$, по построению равна отрезку $BH$.
• Сторона $BC$ по построению равна заданному отрезку, так как точки $C_1$ и $C_2$ лежат на окружности с центром $B$ и радиусом $BC$.
• Медиана, проведенная из вершины $B$, по построению равна отрезку $BM$, так как точка $M$ является серединой стороны $AC$ ($A_1C_1$ или $A_2C_2$) и расстояние от $B$ до $M$ равно $BM$.

Исследуем количество решений. Задача всегда имеет решение, поскольку условия $BM > BH$ и $BC > BH$ гарантируют существование точек $M$ и $C$ (пересечение окружностей с прямой $a$).

В шаге 5 построения мы получаем две возможные точки для $M$, симметричные относительно $H$. Выбор другой точки приведет к построению треугольников, конгруэнтных уже построенным (зеркально симметричных), поэтому достаточно выбрать одну точку $M$.

В шаге 6 мы получаем две точки $C_1$ и $C_2$, симметричные относительно точки $H$. В общем случае, когда $BM \ne BC$, расстояние $HM$ не равно расстоянию $HC$. Расстояния от медианы $M$ до точек $C_1$ и $C_2$ будут разными: $MC_1 = |HC - HM|$ и $MC_2 = HC + HM$ (если принять, что $H$ лежит между $C_2$ и $M$). Так как $A_1C_1 = 2MC_1$ и $A_2C_2 = 2MC_2$, то длины сторон $A_1C_1$ и $A_2C_2$ будут различны. Следовательно, треугольники $\triangle A_1BC_1$ и $\triangle A_2BC_2$ не являются конгруэнтными.

Таким образом, задача, как правило, имеет два неконгруэнтных решения. В частном случае, когда $BM = BC$, точка $M$ совпадает с одной из точек $C$, например $C_1$. Тогда $MC_1=0$, и первое решение вырождается в отрезок. В этом случае задача будет иметь только одно решение.

Ответ: Алгоритм построения описан выше. В общем случае задача имеет два различных (неконгруэнтных) решения.