Номер 28.6, страница 53 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

28.6. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и углу при основании данного треугольника.

Для построения равнобедренного треугольника по заданному основанию и углу при основании используется метод построения треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Анализ задачи

Пусть нам дан отрезок $a$, который будет основанием, и угол $\alpha$, который будет углом при основании. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, нам нужно построить треугольник, у которого одна сторона равна $a$, а оба прилежащих к ней угла равны $\alpha$.

Порядок построения

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отложим на этой прямой отрезок $AC$, равный длине данного основания $a$.
3. От луча $AC$ в одной полуплоскости построим угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке $A$. Для этого выполним стандартную процедуру копирования угла с помощью циркуля и линейки. Проведем луч $l_1$ из точки $A$, образующий этот угол.
4. Аналогично, от луча $CA$ в той же полуплоскости построим угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке $C$. Проведем луч $l_2$ из точки $C$.
5. Лучи $l_1$ и $l_2$ пересекутся в некоторой точке. Обозначим эту точку $B$.
6. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ по построению равна данному основанию $a$. Углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$ по построению равны данному углу $\alpha$. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла треугольника равны, то он является равнобедренным. Так как $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет единственное решение, если данный угол $\alpha$ является острым, то есть $\alpha < 90^\circ$. В этом случае сумма углов при основании $2\alpha$ будет меньше $180^\circ$, и лучи $l_1$ и $l_2$ обязательно пересекутся. Если $\alpha \ge 90^\circ$, то $2\alpha \ge 180^\circ$, что противоречит теореме о сумме углов треугольника, и построение невозможно, так как лучи будут параллельны (при $\alpha = 90^\circ$) или расходящимися (при $\alpha > 90^\circ$).

Ответ: Для построения искомого треугольника необходимо построить отрезок, равный данному основанию (например, $AC$), и от его концов ($A$ и $C$) в одну полуплоскость отложить два луча под углом, равным данному углу при основании. Точка пересечения этих лучей будет третьей вершиной равнобедренного треугольника.