Номер 28.3, страница 53 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

28.3. Постройте равнобедренный треугольник по основанию $a$ и боковой стороне $b$.

Анализ

Предположим, что искомый равнобедренный треугольник $ABC$ построен. Пусть $AC$ — его основание, равное $a$, а $AB$ и $BC$ — боковые стороны, равные $b$.

По определению равнобедренного треугольника, $AB = BC = b$. Это означает, что вершина $B$ находится на одинаковом расстоянии $b$ от вершин $A$ и $C$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от точки $A$ на расстояние $b$, — это окружность с центром в $A$ и радиусом $b$. Аналогично, геометрическое место точек, равноудаленных от точки $C$ на расстояние $b$, — это окружность с центром в $C$ и радиусом $b$.

Следовательно, вершина $B$ является точкой пересечения этих двух окружностей. Для того чтобы треугольник существовал, эти окружности должны пересекаться. Это возможно, если выполняется неравенство треугольника: $b + b > a$, или $2b > a$.

Построение

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.

2. С помощью циркуля измерим отрезок, равный длине основания $a$. Установив ножку циркуля в точку $A$, отложим на прямой отрезок $AC$ длиной $a$.

3. Измерим циркулем отрезок, равный длине боковой стороны $b$. Проведем дугу окружности с центром в точке $A$ и радиусом $b$.

4. Тем же раствором циркуля ($b$) проведем дугу окружности с центром в точке $C$.

5. Точку пересечения этих дуг обозначим буквой $B$. Если дуги пересекаются в двух точках, можно выбрать любую из них.

6. Соединим отрезками точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ по построению равна $a$. Сторона $AB$ является радиусом окружности с центром в точке $A$, следовательно, ее длина равна $b$. Сторона $BC$ является радиусом окружности с центром в точке $C$, следовательно, ее длина также равна $b$.

Таким образом, в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC = b$), значит, он является равнобедренным. Его основание $AC$ равно $a$, а боковые стороны равны $b$, что и требовалось.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда окружности, построенные в шагах 3 и 4, пересекаются. Для этого необходимо и достаточно, чтобы для треугольника со сторонами $a, b, b$ выполнялось неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны.

1. $b + b > a \implies 2b > a$

2. $a + b > b \implies a > 0$ (это условие всегда выполняется, так как длина основания — положительная величина).

Таким образом, единственное условие для существования решения — $2b > a$.

• Если $2b > a$, то окружности пересекаются в двух точках, симметричных относительно прямой $AC$. Мы можем построить два равных треугольника. Задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

• Если $2b = a$, то окружности касаются в одной точке, которая лежит на отрезке $AC$. В этом случае вершины $A, B, C$ лежат на одной прямой, и треугольник вырождается в отрезок. В классе невырожденных треугольников решения нет.

• Если $2b < a$, то окружности не имеют общих точек, и построение треугольника невозможно.

Ответ: Алгоритм построения описан выше. Искомый треугольник можно построить при условии, что удвоенная длина боковой стороны больше длины основания, то есть $2b > a$.