Номер 28.5, страница 53 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

28.5. Постройте равнобедренный треугольник по основанию $a$ и высоте $h$, проведенной к основанию.

Задача состоит в построении равнобедренного треугольника по двум заданным элементам: длине основания $a$ и длине высоты $h$, проведенной к этому основанию. Для решения используется ключевое свойство равнобедренного треугольника: высота, опущенная на основание, является также его медианой.

Анализ

Предположим, что искомый равнобедренный треугольник $ABC$ уже построен. Пусть $AC$ — его основание, равное $a$, а $BH$ — высота, проведенная к основанию, равная $h$.

Так как треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$, то его высота $BH$ является одновременно и медианой. Это означает, что точка $H$ — это середина отрезка $AC$. Следовательно, отрезки $AH$ и $HC$ равны, и их длина составляет $a/2$.

Кроме того, по определению высоты, отрезок $BH$ перпендикулярен основанию $AC$ ($BH \perp AC$). Таким образом, третья вершина $B$ должна лежать на прямой, проходящей через середину основания $H$ и перпендикулярной ему. Такая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку $AC$. Расстояние от точки $B$ до точки $H$ должно быть равно $h$.

Этот анализ определяет последовательность шагов для построения.

Построение

1. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точку $A$.

2. С помощью циркуля отмеряем заданную длину основания $a$ и откладываем ее на прямой от точки $A$, получая точку $C$. Отрезок $AC$ — основание будущего треугольника.

3. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого из точек $A$ и $C$ как из центров проводим две пересекающиеся дуги окружности с одинаковым радиусом (большим, чем половина $AC$).

4. Через две точки пересечения этих дуг проводим прямую. Эта прямая является серединным перпендикуляром к $AC$. Точку пересечения перпендикуляра с отрезком $AC$ обозначим $H$.

5. С помощью циркуля отмеряем заданную длину высоты $h$. Устанавливаем острие циркуля в точку $H$ и откладываем на серединном перпендикуляре отрезок длиной $h$. Получаем точку $B$.

6. Соединяем точку $B$ с точками $A$ и $C$ с помощью линейки.

Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

Необходимо доказать, что построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Во-первых, по построению, его основание $AC$ имеет длину $a$.

Во-вторых, вершина $B$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Следовательно, $AB = BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$.

В-третьих, отрезок $BH$ по построению перпендикулярен $AC$ и его длина равна $h$. Значит, $BH$ является высотой треугольника, проведенной к основанию, и ее длина соответствует заданному значению $h$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ:

Для построения треугольника необходимо выполнить следующую последовательность действий: построить отрезок-основание длиной $a$; построить к нему серединный перпендикуляр; от точки пересечения перпендикуляра и основания отложить на перпендикуляре отрезок, равный высоте $h$, получив третью вершину; соединить полученную вершину с концами отрезка-основания.