Номер 29.1, страница 53 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

29.1. Постройте точку пересечения биссектрис данного тре-угольника.

29.1.

Задача заключается в построении точки пересечения биссектрис данного треугольника с помощью циркуля и линейки. Эта точка называется инцентром треугольника и является центром вписанной в него окружности. Поскольку все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, для ее нахождения достаточно построить любые две из них и найти их точку пересечения.

Пусть дан треугольник $ABC$. Алгоритм построения следующий:

Шаг 1: Построение биссектрисы угла $A$.
Установим острие циркуля в вершину $A$ и проведем дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекла стороны $AB$ и $AC$. Обозначим точки пересечения как $D$ и $E$. Затем из точек $D$ и $E$ как из центров проведем две дуги одинакового радиуса (большего половины длины отрезка $DE$) внутрь угла до их взаимного пересечения. Обозначим точку пересечения этих дуг как $F$. Проведем луч $AF$ с помощью линейки. Луч $AF$ является биссектрисой угла $A$.

Шаг 2: Построение биссектрисы угла $B$.
Повторим процедуру для угла $B$. Установим острие циркуля в вершину $B$ и проведем дугу, пересекающую стороны $BA$ и $BC$ в точках $G$ и $H$. Из точек $G$ и $H$ проведем две дуги одинакового радиуса внутрь угла до их пересечения в точке $K$. Проведем луч $BK$. Этот луч является биссектрисой угла $B$.

Шаг 3: Нахождение искомой точки.
Построенные биссектрисы $AF$ и $BK$ пересекаются в некоторой точке внутри треугольника. Обозначим эту точку буквой $I$. Точка $I$ является искомой точкой пересечения биссектрис треугольника $ABC$. Построение биссектрисы третьего угла $C$ не требуется, так как она также пройдет через точку $I$.

Ответ: Искомая точка строится как точка пересечения двух биссектрис, построенных для двух любых углов данного треугольника. Построение каждой биссектрисы выполняется стандартным методом с помощью циркуля и линейки.