Номер 30.1, страница 54 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

30.1. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и биссектрисе угла при вершине данного треугольника.

30.1.

Для построения равнобедренного треугольника по заданным основанию и биссектрисе угла при вершине воспользуемся ключевым свойством равнобедренного треугольника: биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно его медианой и высотой.

Пусть нам даны два отрезка: отрезок a — длина основания, и отрезок l — длина биссектрисы угла при вершине.

Анализ

Пусть искомый равнобедренный треугольник — это $ \triangle ABC $, где $AC$ — основание ($AC = a$), а $AB = BC$ — боковые стороны. Пусть $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$, проведенная к основанию. По условию, длина биссектрисы $BD = l$.

Из свойств равнобедренного треугольника следует, что биссектриса $BD$ является также:

1. Медианой: она делит основание $AC$ пополам. Следовательно, точка $D$ является серединой отрезка $AC$, и $AD = DC = a/2$.

2. Высотой: она перпендикулярна основанию $AC$. Следовательно, $\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$.

Таким образом, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник $BDA$. В этом треугольнике нам известны длины двух катетов: $BD = l$ и $AD = a/2$. Построение такого треугольника является стандартной задачей. Построив $\triangle BDA$, мы легко найдем третью вершину $C$ искомого треугольника, так как точка $C$ симметрична точке $A$ относительно точки $D$.

Построение

1. Начертим произвольную прямую. Назовем ее m.
2. На прямой m выберем произвольную точку $D$.
3. Через точку $D$ проведем прямую n, перпендикулярную прямой m. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки.
4. На прямой n отложим от точки $D$ отрезок $DB$, равный по длине данному отрезку биссектрисы l. Точка $B$ — это вершина искомого треугольника, противолежащая основанию.
5. Разделим данный отрезок основания a пополам с помощью циркуля и линейки, чтобы получить отрезок длиной $a/2$.
6. На прямой m отложим от точки $D$ в обе стороны отрезки $DA$ и $DC$, равные по длине построенному отрезку $a/2$. Точки $A$ и $C$ — это вершины при основании искомого треугольника.
7. Соединим отрезками точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.
По построению, его основание $AC = AD + DC = a/2 + a/2 = a$.
Отрезок $BD$ проведен из вершины $B$ к основанию $AC$. По построению, $BD \perp AC$ (так как прямые m и n перпендикулярны), следовательно, $BD$ — высота $\triangle ABC$. Длина этой высоты равна $l$.
Также по построению, $D$ — середина отрезка $AC$ ($AD = DC$), следовательно, $BD$ — медиана $\triangle ABC$.
Поскольку в $\triangle ABC$ отрезок $BD$ является одновременно высотой и медианой, этот треугольник — равнобедренный с основанием $AC$.
В равнобедренном треугольнике высота и медиана, проведенные к основанию, совпадают с биссектрисой угла при вершине. Значит, $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$.
Таким образом, построенный $\triangle ABC$ — равнобедренный, его основание равно a, а биссектриса угла при вершине равна l, что и требовалось.

Ответ: Задача решается путем построения прямоугольного треугольника по двум катетам, равным данной биссектрисе и половине данного основания. Вершины этого прямоугольного треугольника являются двумя из трех вершин искомого, а третья вершина находится путем симметричного отражения одной из вершин основания относительно точки пересечения биссектрисы с основанием.