Номер 30.4, страница 54 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

30.4*. Постройте равнобедренный треугольник по углу при вершине и биссектрисе к боковой стороне.

Пусть искомый равнобедренный треугольник $ABC$ с вершиной $A$, заданным углом при вершине $\angle BAC = \alpha$ и боковыми сторонами $AB = AC$. Пусть $BD$ — биссектриса угла при основании $\angle ABC$, проведенная к боковой стороне $AC$, и ее длина равна $l$.

Анализ

В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Поскольку $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$, она делит его на два равных угла: $\angle ABD = \angle DBC = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2}(90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.

Рассмотрим вспомогательный треугольник $ABD$. В этом треугольнике нам известна сторона $BD=l$ и мы можем выразить все его углы через заданный угол $\alpha$:

• $\angle BAD = \alpha$ (угол при вершине исходного треугольника).
• $\angle ABD = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$ (как мы нашли выше).
• $\angle ADB = 180^\circ - \angle BAD - \angle ABD = 180^\circ - \alpha - (45^\circ - \frac{\alpha}{4}) = 135^\circ - \frac{3\alpha}{4}$.

Таким образом, мы можем построить треугольник $ABD$ по стороне $BD$ и двум прилежащим к ней углам ($\angle ABD$ и $\angle ADB$). Для этого необходимо сначала построить углы $45^\circ - \frac{\alpha}{4}$ и $135^\circ - \frac{3\alpha}{4}$ из заданного угла $\alpha$.

После построения треугольника $ABD$ мы получим вершины $A$ и $B$ искомого треугольника. Вершина $C$ будет лежать на луче $AD$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, то $AC = AB$. Отложив на луче $AD$ отрезок $AC$, равный $AB$, мы найдем вершину $C$.

Ответ: План построения заключается в построении вспомогательного треугольника $ABD$ по стороне $l$ (данная биссектриса) и двум прилежащим к ней углам, которые вычисляются через данный угол при вершине $\alpha$.

Построение

Пусть дан угол, равный $\alpha$, и отрезок, равный $l$.

1. Выполним предварительные построения углов:
   • Построим угол $\frac{\alpha}{2}$ путем деления угла $\alpha$ пополам (построение биссектрисы).
   • Построим угол $\frac{\alpha}{4}$ путем деления угла $\frac{\alpha}{2}$ пополам.
   • Построим прямой угол ($90^\circ$) и его биссектрису, чтобы получить угол $45^\circ$.
   • Построим угол $\angle \gamma_1 = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$, отложив угол $\frac{\alpha}{4}$ внутри угла $45^\circ$ от одной из его сторон.
   • Построим угол $\frac{3\alpha}{4}$, сложив углы $\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{\alpha}{4}$.
   • Построим угол $135^\circ$ (как смежный с углом $45^\circ$).
   • Построим угол $\angle \gamma_2 = 135^\circ - \frac{3\alpha}{4}$, отложив угол $\frac{3\alpha}{4}$ внутри угла $135^\circ$.
2. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $BD$, равный $l$.
3. От луча $DB$ в одну полуплоскость отложим угол $\angle BDA = \angle \gamma_2 = 135^\circ - \frac{3\alpha}{4}$.
4. От луча $BD$ в ту же полуплоскость отложим угол $\angle DBA = \angle \gamma_1 = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.
5. Точку пересечения построенных лучей обозначим $A$. Получили треугольник $ABD$.
6. Проведем луч $AD$.
7. С помощью циркуля измерим длину отрезка $AB$.
8. Проведем окружность с центром в точке $A$ и радиусом $AB$. Точку пересечения этой окружности с лучом $AD$ обозначим $C$.
9. Соединим точки $B$ и $C$.

Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ построен согласно описанным шагам.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. По построению (шаг 7) $AC = AB$, следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$.
2. Найдем угол при вершине $\angle BAC$. В построенном треугольнике $ABD$ сумма углов равна $180^\circ$. $\angle BAC = \angle A = 180^\circ - \angle ABD - \angle ADB = 180^\circ - (45^\circ - \frac{\alpha}{4}) - (135^\circ - \frac{3\alpha}{4}) = 180^\circ - 45^\circ + \frac{\alpha}{4} - 135^\circ + \frac{3\alpha}{4} = \alpha$. Таким образом, угол при вершине равен данному углу $\alpha$.
3. Проверим, является ли отрезок $BD$ биссектрисой угла $\angle ABC$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с углом при вершине $\alpha$ угол при основании $\angle ABC$ равен $\frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. По построению, угол $\angle ABD = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$. Сравнивая, видим, что $\angle ABD = \frac{1}{2} (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{2} \angle ABC$. Следовательно, $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$.
4. Длина отрезка $BD$ равна $l$ по построению (шаг 2).

Все условия задачи выполнены.

Ответ: Построенный треугольник $ABC$ является равнобедренным, имеет заданный угол $\alpha$ при вершине и биссектрису к боковой стороне длиной $l$.

Исследование

Задача имеет решение, если построение треугольника $ABD$ возможно. Это требует, чтобы лучи, построенные в шагах 3 и 4, пересекались. Для этого сумма углов $\angle ABD$ и $\angle ADB$ должна быть меньше $180^\circ$. $\angle ABD + \angle ADB = (45^\circ - \frac{\alpha}{4}) + (135^\circ - \frac{3\alpha}{4}) = 180^\circ - \alpha$.

Условие $180^\circ - \alpha < 180^\circ$ выполняется при $\alpha > 0$.

Кроме того, все углы треугольника $ABD$ должны быть положительными:

• $\angle A = \alpha > 0$.
• $\angle ABD = 45^\circ - \frac{\alpha}{4} > 0 \implies 180^\circ > \alpha$.
• $\angle ADB = 135^\circ - \frac{3\alpha}{4} > 0 \implies 540^\circ > 3\alpha \implies 180^\circ > \alpha$.

Таким образом, все углы положительны, если $0 < \alpha < 180^\circ$. Это естественное ограничение для угла треугольника. При выполнении этого условия все шаги построения однозначно определяют треугольник $ABC$ (с точностью до конгруэнтности).

Ответ: Задача имеет единственное решение (с точностью до расположения) при условии, что заданный угол при вершине $\alpha$ удовлетворяет неравенству $0 < \alpha < 180^\circ$.