Номер 31.5, страница 54 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

31.5* Отрезок длиной $a$ перемещается так, что его концы остаются на сторонах данного прямого угла. Найдите геометрическое место возможных положений середины этого отрезка.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть вершина данного прямого угла совпадает с началом координат $O(0, 0)$, а его стороны — с положительными полуосями $Ox$ и $Oy$.

Пусть $AB$ — данный отрезок длиной $a$. Его концы, $A$ и $B$, скользят по сторонам угла. Это означает, что точка $A$ лежит на оси $Ox$, а точка $B$ — на оси $Oy$. Координаты концов отрезка можно записать как $A(x_A, 0)$ и $B(0, y_B)$, где $x_A \ge 0$ и $y_B \ge 0$.

Так как длина отрезка $AB$ равна $a$, по теореме Пифагора для треугольника $OAB$ (или по формуле расстояния между точками $A$ и $B$) мы имеем:
$OA^2 + OB^2 = AB^2$
$x_A^2 + y_B^2 = a^2$

Пусть $M(x, y)$ — середина отрезка $AB$. Найдем ее координаты, используя формулы для координат середины отрезка:
$x = \frac{x_A + 0}{2} = \frac{x_A}{2}$
$y = \frac{0 + y_B}{2} = \frac{y_B}{2}$

Из этих выражений мы можем выразить $x_A$ и $y_B$ через координаты точки $M$:
$x_A = 2x$
$y_B = 2y$

Теперь подставим эти выражения в уравнение $x_A^2 + y_B^2 = a^2$:
$(2x)^2 + (2y)^2 = a^2$
$4x^2 + 4y^2 = a^2$
$x^2 + y^2 = \frac{a^2}{4}$
$x^2 + y^2 = (\frac{a}{2})^2$

Полученное уравнение $x^2 + y^2 = (\frac{a}{2})^2$ является уравнением окружности с центром в начале координат $O(0, 0)$ и радиусом $R = \frac{a}{2}$.

Так как точки $A$ и $B$ лежат на положительных полуосях, их координаты $x_A$ и $y_B$ неотрицательны. Следовательно, координаты середины $M(x, y)$ также должны быть неотрицательными: $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Это означает, что искомое геометрическое место точек является частью этой окружности, расположенной в первом координатном квадранте (то есть внутри данного прямого угла).

Этот же результат можно получить и из чисто геометрических соображений. Треугольник $OAB$, образованный отрезком и осями координат, является прямоугольным. Отрезок $OM$ является медианой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$. По свойству медианы прямоугольного треугольника, ее длина равна половине длины гипотенузы: $OM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$. Таким образом, точка $M$ всегда находится на постоянном расстоянии $\frac{a}{2}$ от точки $O$ (вершины угла). Множество всех таких точек, лежащих внутри угла, образует четверть окружности.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это четверть окружности с центром в вершине данного прямого угла и радиусом, равным половине длины отрезка ($R = \frac{a}{2}$), расположенная внутри этого угла.