Номер 31.6, страница 54 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

31.6*: Постройте геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных непараллельных прямых.

Геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от двух данных непараллельных прямых, — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до каждой из этих прямых одинаково.

Пусть даны две непараллельные прямые a и b, пересекающиеся в точке O. Они образуют две пары вертикальных углов.

Возьмем любую точку M, принадлежащую искомому ГМТ. Это означает, что расстояние от точки M до прямой a равно расстоянию от точки M до прямой b. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Опустим из точки M перпендикуляры MA на прямую a и MB на прямую b. По условию, $MA = MB$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$.

• У них общая гипотенуза OM.
• Катеты MA и MB равны по условию ($MA = MB$).

Следовательно, $\triangle OAM = \triangle OBM$ по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AOM = \angle BOM$. Это означает, что точка M лежит на биссектрисе угла, образованного прямыми a и b.

Теперь докажем обратное: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, образованного прямыми a и b, равноудалена от этих прямых.

Пусть точка K лежит на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми a и b. Опустим из K перпендикуляры $KA_1$ на прямую a и $KB_1$ на прямую b.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OKA_1$ и $\triangle OKB_1$.

• У них общая гипотенуза OK.
• Острые углы $\angle A_1OK$ и $\angle B_1OK$ равны, так как луч OK — биссектриса.

Следовательно, $\triangle OKA_1 = \triangle OKB_1$ по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство катетов: $KA_1 = KB_1$. Это доказывает, что точка K равноудалена от прямых a и b.

Таким образом, ГМТ, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, является совокупностью биссектрис всех четырех углов, образованных этими прямыми. Биссектрисы двух пар вертикальных углов образуют две прямые, проходящие через точку пересечения исходных прямых. Эти две прямые-биссектрисы взаимно перпендикулярны, так как они являются биссектрисами смежных углов (сумма которых $180^\circ$, а сумма половин этих углов $90^\circ$).

1. Пусть даны две непараллельные прямые a и b, которые пересекаются в точке O.
2. Для построения одной из биссектрис, установим острие циркуля в точку O и проведем окружность произвольного радиуса. Она пересечет прямые a и b в точках A и B соответственно.
3. Затем из точек A и B проведем две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись в точке P.
4. Проведем прямую через точки O и P. Эта прямая является биссектрисой одной пары вертикальных углов.
5. Повторим построение для смежного угла или, что проще, построим прямую, проходящую через точку O и перпендикулярную уже построенной биссектрисе. Эта вторая прямая будет биссектрисой другой пары вертикальных углов.

В результате мы получим две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через точку пересечения O. Это и есть искомое геометрическое место точек.

Ответ: Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных непараллельных прямых, — это пара взаимно перпендикулярных прямых, которые являются биссектрисами углов, образованных при пересечении данных прямых.