Номер 31.3, страница 54 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

31.3. Постройте точку, равноудаленную от вершин равностороннего треугольника.

Искомая точка, равноудаленная от всех трех вершин треугольника, является центром описанной около этого треугольника окружности. Для любого треугольника этот центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В случае равностороннего треугольника эта точка обладает рядом уникальных свойств: она одновременно является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.

Для построения этой точки достаточно найти точку пересечения любых двух серединных перпендикуляров (или любых двух медиан, или биссектрис, или высот). Наиболее универсальный метод, подходящий для любого треугольника, — это построение серединных перпендикуляров.

Анализ

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$. Мы ищем точку $O$ такую, что расстояние от нее до каждой вершины одинаково, то есть $OA = OB = OC$.

• Условие $OA = OB$ означает, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.
• Условие $OB = OC$ означает, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$.

Следовательно, точка $O$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AB$ и $BC$. Так как $OA = OB$ и $OB = OC$, то из этого следует, что $OA = OC$, а значит, точка $O$ будет лежать и на серединном перпендикуляре к стороне $AC$. Таким образом, все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке.

Построение

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки.

1. Возьмем сторону $AB$. Установим раствор циркуля на расстояние, заведомо большее половины длины отрезка $AB$.
2. Проведем две дуги с центром в точке $A$ и в точке $B$ с одинаковым радиусом так, чтобы они пересеклись по обе стороны от отрезка $AB$.
3. Через две точки пересечения этих дуг проведем прямую. Эта прямая является серединным перпендикуляром к стороне $AB$.
4. Повторим аналогичные действия для стороны $BC$. То есть, установив раствор циркуля на расстояние большее половины $BC$, проведем две пересекающиеся дуги из точек $B$ и $C$.
5. Проведем прямую через точки пересечения дуг. Эта прямая будет серединным перпендикуляром к стороне $BC$.
6. Точка пересечения двух построенных серединных перпендикуляров и есть искомая точка $O$.

Доказательство

Пусть $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AB$ и $BC$.

По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка.

Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, то $OA = OB$.

Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $BC$, то $OB = OC$.

Из этих двух равенств следует, что $OA = OB = OC$. Таким образом, точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника $A$, $B$ и $C$, что и требовалось доказать.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам равностороннего треугольника. Для ее построения необходимо с помощью циркуля и линейки построить серединные перпендикуляры к любым двум сторонам треугольника и найти точку их пересечения.