Номер 30.5, страница 54 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

30.5*. Постройте равносторонний треугольник по его высоте.

Для решения задачи построения равностороннего треугольника по заданной высоте, воспользуемся свойствами такого треугольника. Решение состоит из анализа, пошагового построения и доказательства.

Пусть искомый равносторонний треугольник $ABC$ построен, и $AH$ — его высота, равная данному отрезку $h$. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Высота, проведенная из вершины к основанию, является также медианой (делит основание пополам) и биссектрисой (делит угол при вершине пополам).

Следовательно, для треугольника $ABC$ с высотой $AH$ на сторону $BC$ мы имеем:

• Треугольник $ABH$ является прямоугольным, так как $AH \perp BC$, а значит $∠AHB = 90^\circ$.
• Угол при основании $∠B = 60^\circ$.
• Высота $AH$ является биссектрисой угла $BAC$, поэтому $∠BAH = \frac{1}{2}∠BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Таким образом, задача сводится к построению прямоугольного треугольника $ABH$ по известному катету $AH=h$ и противолежащему ему углу $∠B=60^\circ$ (или прилежащему острому углу $∠BAH=30^\circ$). Построив один такой прямоугольный треугольник, мы можем симметрично отразить его относительно высоты $AH$, чтобы получить второй ($ACH$) и, таким образом, весь равносторонний треугольник $ABC$.

Пусть дан отрезок, равный высоте $h$.

1. Проведем произвольную прямую $m$, которая будет содержать основание будущего треугольника.
2. Выберем на прямой $m$ произвольную точку $H$.
3. С помощью циркуля и линейки построим прямую $p$, проходящую через точку $H$ и перпендикулярную прямой $m$.
4. На прямой $p$ от точки $H$ отложим отрезок $HA$, длина которого равна данной высоте $h$. Точка $A$ — это вершина искомого треугольника.
5. Теперь необходимо построить стороны $AB$ и $AC$. Для этого построим при вершине $A$ два угла по $30^\circ$ с каждой стороны от высоты $AH$. Построим один из них, например, $∠CAH=30^\circ$.
   1. С центром в точке $A$ проведем дугу произвольного радиуса $R$, которая пересечет луч $AH$ в точке $K$.
   2. Не меняя раствора циркуля ($R$), установим его в точку $K$ и проведем еще одну дугу, которая пересечет первую в точке $L$. Таким образом, мы построили равносторонний треугольник $AKL$ (мысленно), и угол $∠LAK$ равен $60^\circ$.
   3. Теперь построим биссектрису угла $∠LAK$. Проведем из точек $K$ и $L$ две дуги одинакового радиуса. Точка их пересечения (отличная от $A$) будет лежать на биссектрисе. Проведем луч из точки $A$ через эту точку пересечения. Этот луч образует с лучом $AH$ угол в $30^\circ$.
6. Продолжим полученный луч до пересечения с прямой $m$. Точку пересечения обозначим $C$.
7. Аналогично построим угол $∠BAH = 30^\circ$ с другой стороны от высоты $AH$. Либо, что проще, на прямой $m$ от точки $H$ отложим отрезок $HB$, равный отрезку $HC$, в сторону, противоположную точке $C$.
8. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ является равносторонним с высотой $h$.

1. По построению, отрезок $AH$ перпендикулярен стороне $BC$, следовательно, $AH$ — высота треугольника $ABC$. Длина $AH$ равна $h$ по построению.
2. Рассмотрим треугольник $AHC$. Он прямоугольный ($∠AHC = 90^\circ$). Угол $∠CAH$ по построению равен $30^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $∠ACH = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
3. По построению, $H$ — середина отрезка $BC$ ($BH=HC$), значит, высота $AH$ является также и медианой. Треугольник, в котором высота совпадает с медианой, является равнобедренным. Следовательно, $AB = AC$.
4. В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании равны, то есть $∠B = ∠C$. Так как мы нашли, что $∠C=60^\circ$, то и $∠B=60^\circ$.
5. Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине $A$ равен $∠BAC = 180^\circ - (∠B + ∠C) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$.
6. Поскольку все три угла треугольника $ABC$ равны $60^\circ$, он является равносторонним.

Таким образом, мы построили равносторонний треугольник $ABC$ с заданной высотой $h$.

Ответ: Алгоритм построения, описанный выше, позволяет построить равносторонний треугольник по его высоте. Итоговый треугольник $ABC$ является искомым.