Номер 29.2, страница 53 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

29.2. Постройте угол, величина которого в 4 раза меньше величины данного угла.

Чтобы построить угол, величина которого в 4 раза меньше величины данного угла, необходимо дважды последовательно построить биссектрису угла. Сначала мы делим данный угол пополам, а затем одну из полученных половин делим еще раз пополам. В результате мы получим угол, составляющий $\frac{1}{4}$ от исходного.

Пусть дан произвольный угол $\angle AOB$ с вершиной в точке O. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений.

Шаг 1: Построение биссектрисы угла $\angle AOB$.

1. Устанавливаем циркуль в вершину угла, точку O, и проводим дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекла стороны угла в двух точках. Назовем эти точки M (на луче OA) и N (на луче OB).

2. Из точек M и N, как из центров, проводим две дуги одинакового радиуса (радиус должен быть больше половины расстояния между M и N) так, чтобы они пересеклись внутри угла. Точку их пересечения назовем C.

3. Проводим луч OC. Этот луч является биссектрисой угла $\angle AOB$, и, следовательно, $\angle AOC = \frac{1}{2}\angle AOB$.

Шаг 2: Построение биссектрисы угла $\angle AOC$.

1. Теперь необходимо разделить пополам полученный угол $\angle AOC$. Первая дуга, которую мы провели с центром в O, пересекает стороны этого нового угла в точках M (на луче OA) и P (на луче OC).

2. Из точек M и P, как из центров, проводим две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла $\angle AOC$. Точку их пересечения назовем D.

3. Проводим луч OD. Этот луч является биссектрисой угла $\angle AOC$, и, следовательно, $\angle AOD = \frac{1}{2}\angle AOC$.

Поскольку $\angle AOC = \frac{1}{2}\angle AOB$ и $\angle AOD = \frac{1}{2}\angle AOC$, то итоговый угол $\angle AOD$ связан с исходным как $\angle AOD = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \angle AOB \right) = \frac{1}{4} \angle AOB$.

Таким образом, угол $\angle AOD$ является искомым углом.

Ответ: Искомый угол строится путем последовательного двукратного построения биссектрисы: сначала для данного угла, а затем для одной из его половин.