Номер 28.10, страница 53 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

28.10. Начертите треугольник $ABC$ и постройте треугольник $MNL$, у которого $\angle M = \angle A$, $\angle N = \angle B$ и $MN = 2AB$.

Для построения треугольника $MNL$, удовлетворяющего заданным условиям, необходимо выполнить последовательность геометрических построений с помощью циркуля и линейки. За основу берется произвольный треугольник $ABC$.

План построения:

1. Начертим произвольный треугольник $ABC$.

2. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $M$, которая будет одной из вершин нового треугольника.

3. Построим сторону $MN$. С помощью циркуля измерим длину стороны $AB$ треугольника $ABC$. От точки $M$ на прямой отложим эту длину дважды в одном направлении. Для этого сначала откладываем отрезок, равный $AB$, получая вспомогательную точку $K$, а затем от точки $K$ откладываем еще один отрезок, равный $AB$. Конечная точка будет вершиной $N$. Таким образом, мы получаем отрезок $MN$, для которого выполняется условие $MN = 2AB$.

4. Построим угол при вершине $M$, равный углу $A$ треугольника $ABC$. Это стандартная процедура копирования угла:

   • С центром в вершине $A$ треугольника $ABC$ проведем дугу произвольного радиуса, пересекающую стороны угла $A$ (лучи $AB$ и $AC$) в двух точках.

   • С центром в точке $M$ проведем дугу того же радиуса, чтобы она пересекла луч $MN$.

   • Циркулем измерим расстояние между точками пересечения на сторонах угла $A$.

   • Отложим это расстояние на второй дуге (с центром в $M$) от точки ее пересечения с лучом $MN$.

   • Проведем луч из точки $M$ через полученную новую точку. Этот луч образует с лучом $MN$ угол, равный $\angle A$.

5. Аналогично построим угол при вершине $N$, равный углу $B$ треугольника $ABC$. Все действия повторяются для вершины $N$ и угла $B$. Важно, чтобы новый угол строился с той же стороны от прямой $MN$, что и угол при вершине $M$.

6. Точка пересечения двух лучей, построенных в шагах 4 и 5, является третьей вершиной искомого треугольника — точкой $L$.

7. Соединим точки $M$, $N$ и $L$. Треугольник $MNL$ построен.

Доказательство корректности:

В построенном треугольнике $MNL$ по построению выполнены все условия задачи: сторона $MN = 2AB$, угол при вершине $M$ равен углу $A$ ($\angle M = \angle A$), а угол при вершине $N$ равен углу $B$ ($\angle N = \angle B$). Построение основано на теореме о построении треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ:

Искомый треугольник $MNL$ строится путем построения его стороны $MN$ длиной $2AB$ на произвольной прямой, а затем построением от лучей $MN$ и $NM$ углов, равных $\angle A$ и $\angle B$ соответственно. Точка пересечения сторон этих углов является третьей вершиной $L$.