Номер 30.2, страница 54 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

30.2. Постройте углы, величины которых равны $45^\circ$, $30^\circ$, $60^\circ$.

Для построения углов будем использовать только циркуль и линейку без делений.

Построение угла величиной 60°

Угол в $60^\circ$ является углом равностороннего треугольника. Построение основано на создании такого треугольника.

1. Проведем произвольный луч с началом в точке $O$. Отметим на нем точку $A$.
2. Установим ножку циркуля в точку $O$ и проведем дугу произвольного радиуса $r$, которая пересечет луч $OA$ в точке $B$.
3. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку $B$ и проведем еще одну дугу так, чтобы она пересекла первую дугу. Назовем точку их пересечения $C$.
4. Соединим точку $O$ с точкой $C$ с помощью луча.

Полученный угол $\angle COA$ (или $\angle COB$) и есть искомый угол в $60^\circ$. Это следует из того, что треугольник $\triangle OBC$ является равносторонним (по построению $OB = OC = BC = r$), а все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$.

Ответ: Построенный угол $\angle COA$ равен $60^\circ$.

Построение угла величиной 30°

Угол в $30^\circ$ равен половине угла в $60^\circ$. Поэтому для его построения нужно сначала построить угол в $60^\circ$, а затем разделить его пополам (построить биссектрису).

1. Строим угол $\angle AOB = 60^\circ$ с вершиной в точке $O$, как описано в предыдущем пункте. В процессе построения у нас уже есть дуга, пересекающая стороны $OA$ и $OB$ в точках, назовем их $P$ и $Q$.
2. Установим ножку циркуля в точку $P$ и проведем дугу внутри угла.
3. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку $Q$ и проведем другую дугу так, чтобы она пересекла предыдущую. Точку пересечения назовем $D$.
4. Проведем луч $OD$. Этот луч является биссектрисой угла $\angle AOB$.

Угол $\angle DOB$ (а также угол $\angle DOA$) равен половине угла $\angle AOB$, то есть $60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Ответ: Построенный угол $\angle DOB$ равен $30^\circ$.

Построение угла величиной 45°

Угол в $45^\circ$ равен половине прямого угла ($90^\circ$). Поэтому сначала необходимо построить прямой угол, а затем разделить его пополам.

1. Построение прямого угла ($90^\circ$):
   1. Проведем прямую и отметим на ней точку $O$.
   2. Установим ножку циркуля в точку $O$ и проведем окружность (или две дуги) произвольного радиуса, которая пересечет прямую в двух точках, $A$ и $B$.
   3. Увеличим раствор циркуля. Установим ножку циркуля в точку $A$ и проведем дугу над (или под) прямой.
   4. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку $B$ и проведем вторую дугу так, чтобы она пересекла первую. Точку пересечения назовем $C$.
   5. Проведем луч $OC$. Угол $\angle COA$ (и $\angle COB$) является прямым, то есть равен $90^\circ$.
2. Построение биссектрисы угла $90^\circ$:
   1. Теперь разделим угол $\angle COA = 90^\circ$ пополам. Дуга, проведенная из центра $O$ в шаге 1b, уже пересекает луч $OA$ в точке $A$ и луч $OC$ в некоторой точке, назовем ее $D$.
   2. Установим ножку циркуля в точку $A$ и проведем дугу внутри угла $\angle COA$.
   3. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку $D$ и проведем вторую дугу для пересечения с первой. Точку пересечения назовем $E$.
   4. Проведем луч $OE$.

Луч $OE$ является биссектрисой угла $\angle COA$. Следовательно, угол $\angle EOA$ равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$.

Ответ: Построенный угол $\angle EOA$ равен $45^\circ$.