Номер 31.4, страница 54 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

31.4. Сколько существует точек, равноудаленных от трех данных точек?

Чтобы определить количество точек, равноудаленных от трех данных точек, обозначим их A, B и C. Искомая точка P должна удовлетворять условию $PA = PB = PC$.

Геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от двух точек, например A и B, представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку AB. Если мы рассматриваем задачу на плоскости, это прямая. Если в пространстве — это плоскость. Искомая точка P должна лежать на пересечении серединных перпендикуляров к отрезкам AB и BC.

Решение зависит от взаимного расположения точек A, B и C.

Случай 1: Три данные точки не лежат на одной прямой

В этом случае точки A, B и C являются вершинами треугольника.

• На плоскости: Серединные перпендикуляры к сторонам AB и BC являются двумя прямыми, которые не параллельны друг другу. Они пересекаются в одной-единственной точке — центре описанной окружности треугольника ABC. Следовательно, существует ровно одна такая точка.
• В пространстве: Серединные перпендикуляры к отрезкам AB и BC являются двумя плоскостями, которые не параллельны. Их пересечение — это прямая, перпендикулярная плоскости треугольника ABC и проходящая через центр его описанной окружности. Каждая точка на этой прямой равноудалена от A, B и C. Следовательно, существует бесконечное множество таких точек.

Случай 2: Три данные точки лежат на одной прямой

Будем считать, что данные точки различны.

• На плоскости: Серединные перпендикуляры к отрезкам AB и BC — это две параллельные прямые (обе перпендикулярны прямой, содержащей A, B, C). Поскольку точки A, B, C различны, эти перпендикуляры не совпадают. Две различные параллельные прямые не пересекаются, поэтому таких точек не существует (ноль точек).
• В пространстве: Аналогично, серединные перпендикуляры являются двумя различными параллельными плоскостями. Они не пересекаются, следовательно, таких точек не существует (ноль точек).

Стоит также отметить особый случай, когда некоторые точки совпадают. Если, например, точки A и B совпадают, а точка C отлична от них, то задача сводится к нахождению точек, равноудаленных от A и C. Множество таких точек — это серединный перпендикуляр к AC (прямая на плоскости или плоскость в пространстве), то есть их бесконечно много. Если все три точки совпадают, любая точка плоскости или пространства удовлетворяет условию.

Ответ: Количество точек зависит от их взаимного расположения и размерности пространства:
1. Если точки не лежат на одной прямой: одна (на плоскости) или бесконечно много (в пространстве).
2. Если точки лежат на одной прямой и различны: ноль.
3. Если хотя бы две из данных точек совпадают: бесконечно много.