Номер 1.4, страница 55 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

1.4. a) На какое наименьшее количество треугольников можно разбить выпуклый 17-угольник?

б) Сколько сторон у выпуклого многоугольника, если его можно разбить как минимум на 18 треугольников?

а) Для нахождения наименьшего количества треугольников, на которые можно разбить выпуклый многоугольник, существует общая формула. Если выпуклый многоугольник имеет $n$ сторон (и, соответственно, $n$ вершин), то его можно разбить на треугольники, проведя все возможные диагонали из одной вершины.

Из одной вершины можно провести диагонали ко всем остальным вершинам, кроме двух соседних и самой этой вершины. Таким образом, из одной вершины можно провести $n-3$ диагонали. Эти диагонали разделят многоугольник на $n-2$ треугольника. Это и есть наименьшее возможное количество, так как любая триангуляция простого $n$-угольника состоит ровно из $n-2$ треугольников.

В нашем случае дан выпуклый 17-угольник, значит $n = 17$.

Подставим это значение в формулу:

Количество треугольников = $n - 2 = 17 - 2 = 15$.

Ответ: 15

б) Это обратная задача. Мы используем ту же самую формулу: количество треугольников $k$ равно количеству сторон $n$ минус два, то есть $k = n - 2$.

По условию, многоугольник можно разбить как минимум на 18 треугольников, то есть $k = 18$. Нам нужно найти количество сторон $n$.

Подставляем известное значение в формулу и решаем уравнение относительно $n$:

$18 = n - 2$

$n = 18 + 2$

$n = 20$

Таким образом, у выпуклого многоугольника 20 сторон.

Ответ: 20