Номер 1.9, страница 57 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

1.9. Найдите величины внутренних углов многоугольников, изображенных на рисунках 108, а), б), если известно, что у каждого из них все внешние углы равны между собой.

Рис. 108

а)

Многоугольник, изображенный на рисунке а), является шестиугольником, так как у него 6 сторон и, соответственно, 6 вершин и 6 внутренних углов. По условию задачи известно, что все внешние углы этого многоугольника равны между собой. Это означает, что многоугольник является правильным (у него равны не только углы, но и стороны).
Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$.
Поскольку у шестиугольника 6 вершин и все внешние углы равны, мы можем найти величину каждого внешнего угла, разделив общую сумму на их количество:
Величина внешнего угла = $360^\circ / 6 = 60^\circ$.
Внутренний угол и смежный с ним внешний угол при одной и той же вершине в сумме составляют $180^\circ$. Следовательно, для нахождения величины внутреннего угла необходимо из $180^\circ$ вычесть величину внешнего угла:
Величина внутреннего угла = $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Так как все внешние углы равны, то и все внутренние углы также равны между собой.
Ответ: все внутренние углы равны $120^\circ$.

б)

Многоугольник, представленный на рисунке б), — это пятиугольник, он имеет 5 сторон и 5 углов. Условие задачи гласит, что все его внешние углы равны. Это означает, что данный пятиугольник является правильным.
Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника составляет $360^\circ$.
У пятиугольника 5 вершин, и раз все внешние углы равны, то величина одного внешнего угла вычисляется следующим образом:
Величина внешнего угла = $360^\circ / 5 = 72^\circ$.
Внутренний и внешний углы при одной вершине являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$. Чтобы найти величину внутреннего угла, вычтем из $180^\circ$ величину внешнего угла:
Величина внутреннего угла = $180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.
Поскольку все внешние углы равны, то и все внутренние углы равны.
Ответ: все внутренние углы равны $108^\circ$.