Номер 2.3, страница 58 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.3. ABCD — параллелограмм. Пользуясь данными рисун-ков 110, а), б), найдите периметр параллелограмма.

а) $AB = 3y$

$BC = 5x - 11$

$CD = 2y + 4$

$AD = 2x + 4$

б) $AB = 3x - 8$

$BC = 4y - 9$

$CD = 2x + 1$

$AD = y + 3$

Рис. 110

а)

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны равны. Это означает, что $AB = CD$ и $BC = AD$.

Используя данные с рисунка, составим систему уравнений:

1) $AB = CD \implies 3y = 2y + 4$

2) $BC = AD \implies 5x - 11 = 2x + 4$

Решим первое уравнение, чтобы найти $y$:

$3y - 2y = 4$

$y = 4$

Решим второе уравнение, чтобы найти $x$:

$5x - 2x = 4 + 11$

$3x = 15$

$x = 5$

Теперь подставим найденные значения $x$ и $y$ в выражения для длин сторон, чтобы найти их численные значения:

Длина стороны $AB = 3y = 3 \cdot 4 = 12$.

Длина стороны $BC = 5x - 11 = 5 \cdot 5 - 11 = 25 - 11 = 14$.

Периметр параллелограмма ($P$) равен удвоенной сумме двух смежных сторон: $P = 2(AB + BC)$.

$P = 2(12 + 14) = 2 \cdot 26 = 52$.

Ответ: 52.

б)

Так же, как и в предыдущем пункте, воспользуемся свойством равенства противоположных сторон параллелограмма: $AB = CD$ и $BC = AD$.

Составим систему уравнений на основе данных с рисунка:

1) $AB = CD \implies 3x - 8 = 2x + 1$

2) $BC = AD \implies 4y - 9 = y + 3$

Решим первое уравнение относительно $x$:

$3x - 2x = 1 + 8$

$x = 9$

Решим второе уравнение относительно $y$:

$4y - y = 3 + 9$

$3y = 12$

$y = 4$

Теперь найдем длины смежных сторон, подставив значения $x$ и $y$:

Длина стороны $AB = 3x - 8 = 3 \cdot 9 - 8 = 27 - 8 = 19$.

Длина стороны $AD = y + 3 = 4 + 3 = 7$.

Вычислим периметр параллелограмма по формуле $P = 2(AB + AD)$.

$P = 2(19 + 7) = 2 \cdot 26 = 52$.

Ответ: 52.