Номер 2.10, страница 60 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.10. a) В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Периметр параллелограмма равен 40 см, а разность периметров треугольников $AOD$ и $AOB$ равна 4 см. Найдите стороны параллелограмма.

б) В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Периметр параллелограмма равен 60 см, а разность периметров треугольников $BOC$ и $COD$ равна 6 см. Найдите стороны параллелограмма.

а) Пусть стороны параллелограмма $ABCD$ равны $AB$ и $AD$. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны, то есть $AB = CD$ и $AD = BC$.
Периметр параллелограмма $P_{ABCD}$ вычисляется по формуле $P_{ABCD} = 2(AB + AD)$. По условию, $P_{ABCD} = 40$ см.
Следовательно, $2(AB + AD) = 40$, откуда получаем первое уравнение:
$AB + AD = 20$ см.
Диагонали параллелограмма в точке пересечения $O$ делятся пополам, то есть $AO = OC$ и $BO = OD$.
Рассмотрим периметры треугольников $AOD$ и $AOB$:
$P_{AOD} = AO + OD + AD$
$P_{AOB} = AO + OB + AB$
По условию, разность их периметров равна 4 см. Запишем это:
$P_{AOD} - P_{AOB} = (AO + OD + AD) - (AO + OB + AB) = 4$.
Так как $OD = OB$, мы можем упростить выражение:
$AO + OD + AD - AO - OD - AB = 4$
$AD - AB = 4$ см. Это наше второе уравнение.
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} AD + AB = 20 \\ AD - AB = 4 \end{cases}$
Сложим два уравнения:
$(AD + AB) + (AD - AB) = 20 + 4$
$2 \cdot AD = 24$
$AD = 12$ см.
Подставим значение $AD$ в первое уравнение:
$12 + AB = 20$
$AB = 20 - 12 = 8$ см.
Таким образом, стороны параллелограмма равны 8 см и 12 см.
Ответ: стороны параллелограмма равны 8 см и 12 см.

б) Пусть стороны параллелограмма $ABCD$ равны $BC$ и $CD$. Противоположные стороны параллелограмма равны, значит $AD = BC$ и $AB = CD$.
Периметр параллелограмма $P_{ABCD} = 2(BC + CD)$. По условию, $P_{ABCD} = 60$ см.
Отсюда получаем первое уравнение:
$2(BC + CD) = 60 \Rightarrow BC + CD = 30$ см.
Диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам: $AO = OC$ и $BO = OD$.
Рассмотрим периметры треугольников $BOC$ и $COD$:
$P_{BOC} = BO + OC + BC$
$P_{COD} = CO + OD + CD$
Разность их периметров по условию равна 6 см:
$P_{BOC} - P_{COD} = (BO + OC + BC) - (CO + OD + CD) = 6$.
Учитывая, что $BO = OD$, упрощаем выражение:
$BO + OC + BC - CO - BO - CD = 6$
$BC - CD = 6$ см. Это второе уравнение.
Составим и решим систему уравнений:
$\begin{cases} BC + CD = 30 \\ BC - CD = 6 \end{cases}$
Сложим эти два уравнения:
$(BC + CD) + (BC - CD) = 30 + 6$
$2 \cdot BC = 36$
$BC = 18$ см.
Подставим найденное значение $BC$ в первое уравнение:
$18 + CD = 30$
$CD = 30 - 18 = 12$ см.
Следовательно, стороны параллелограмма равны 12 см и 18 см.
Ответ: стороны параллелограмма равны 12 см и 18 см.