Номер 2.14, страница 61 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.14. a) В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D делят сторону BC на три отрезка. Найдите длины этих отрезков, если периметр параллелограмма равен 30 см, а сторона $AB = 4$ см.

б) В параллелограмме ABCD биссектрисы углов C и D делят сторону AB на три отрезка, длины которых равны 7 см, 2 см и 7 см. Найдите периметр параллелограмма.

а)

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Периметр $P = 30$ см, сторона $AB = 4$ см. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (AB + BC)$. Подставим известные значения, чтобы найти длину стороны $BC$: $30 = 2 \cdot (4 + BC)$ $15 = 4 + BC$ $BC = 15 - 4 = 11$ см. В параллелограмме противолежащие стороны равны, следовательно, $AB = CD = 4$ см и $BC = AD = 11$ см.

Пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABM$. Так как $AM$ — биссектриса, то $\angle BAM = \angle DAM$. Поскольку $BC \parallel AD$ (свойство параллелограмма), а $AM$ — секущая, то накрест лежащие углы $\angle DAM$ и $\angle AMB$ равны. Следовательно, $\angle BAM = \angle AMB$. Это означает, что треугольник $\triangle ABM$ является равнобедренным с основанием $AM$, и его боковые стороны равны: $BM = AB$. Так как $AB = 4$ см, то $BM = 4$ см.

Пусть биссектриса угла $D$ пересекает сторону $BC$ в точке $N$. Рассмотрим треугольник $\triangle CDN$. Так как $DN$ — биссектриса, то $\angle CDN = \angle ADN$. Поскольку $BC \parallel AD$, а $DN$ — секущая, то накрест лежащие углы $\angle ADN$ и $\angle CND$ равны. Следовательно, $\angle CDN = \angle CND$. Это означает, что треугольник $\triangle CDN$ является равнобедренным с основанием $DN$, и его боковые стороны равны: $CN = CD$. Так как $CD = AB = 4$ см, то $CN = 4$ см.

Биссектрисы углов $A$ и $D$ делят сторону $BC$ на три отрезка: $BM$, $MN$ и $NC$. Сумма их длин равна длине стороны $BC$: $BC = BM + MN + NC$. Подставим известные длины: $11 = 4 + MN + 4$ $11 = 8 + MN$ $MN = 3$ см. Таким образом, длины отрезков, на которые биссектрисы делят сторону $BC$, равны 4 см, 3 см и 4 см.

Ответ: 4 см, 3 см, 4 см.

б)

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Биссектрисы углов $C$ и $D$ делят сторону $AB$ на три отрезка. Найдем длину стороны $AB$, сложив длины этих отрезков: $AB = 7 + 2 + 7 = 16$ см. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $CD = AB = 16$ см.

Пусть биссектриса угла $D$ пересекает сторону $AB$ в точке $N$. Рассмотрим треугольник $\triangle ADN$. Так как $DN$ — биссектриса, то $\angle ADN = \angle CDN$. Поскольку $AB \parallel DC$ (свойство параллелограмма), а $DN$ — секущая, то накрест лежащие углы $\angle AND$ и $\angle CDN$ равны. Следовательно, $\angle ADN = \angle AND$. Это означает, что треугольник $\triangle ADN$ является равнобедренным с основанием $DN$, и $AD = AN$.

Пусть биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AB$ в точке $M$. Рассмотрим треугольник $\triangle BCM$. Так как $CM$ — биссектриса, то $\angle BCM = \angle DCM$. Поскольку $AB \parallel DC$, а $CM$ — секущая, то накрест лежащие углы $\angle BMC$ и $\angle DCM$ равны. Следовательно, $\angle BCM = \angle BMC$. Это означает, что треугольник $\triangle BCM$ является равнобедренным с основанием $CM$, и $BC = BM$.

В параллелограмме противолежащие стороны $AD$ и $BC$ равны, поэтому $AN = BM$. По условию, сторона $AB$ разделена на отрезки длиной 7 см, 2 см и 7 см. Так как $AN=BM$, то длины этих отрезков равны 7 см. Таким образом, $AN = 7$ см и $BM = 7$ см. Средний отрезок $NM$ равен 2 см. (Проверка: $AN+NM+BM = 7+2+7=16$ см, что равно длине стороны $AB$).

Теперь мы можем найти длину боковой стороны $AD$. Мы установили, что $AD = AN$. Так как $AN = 7$ см, то $AD = 7$ см. Стороны параллелограмма равны $AB = 16$ см и $AD = 7$ см. Найдем периметр параллелограмма по формуле $P = 2 \cdot (AB + AD)$: $P = 2 \cdot (16 + 7) = 2 \cdot 23 = 46$ см.

Ответ: 46 см.