Номер 3.3, страница 62 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

3.3. a) Три вершины параллелограмма имеют координаты $(6; 0)$, $(2; -3)$ и $(-4; 3)$. Найдите координаты четвертой вершины, если известно, что эта вершина находится в четвертой координатной четверти.

б) Две вершины параллелограмма имеют координаты $(2; 0)$, $(-3; -7)$, точка пересечения диагоналей имеет координаты $(5; -3)$. Найдите координаты двух других вершин параллелограмма.

а)

Пусть даны три вершины параллелограмма: A(6; 0), B(2; –3) и C(–4; 3). Обозначим четвертую вершину как D(x; y).

В параллелограмме диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Это означает, что середина одной диагонали совпадает с серединой другой. Также можно использовать свойство векторов: в параллелограмме ABCD вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$. Более общим является свойство, что сумма векторов положения противоположных вершин равна, то есть $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}$, где O — начало координат. Из этого следует, что $A + C = B + D$.

Существует три возможных варианта расположения четвертой вершины D в зависимости от того, какой из данных вершин она будет противоположна.

Случай 1: Вершины B и D — противоположные (параллелограмм ABCD). Диагонали — AC и BD. Тогда $A + C = B + D$, откуда $D = A + C - B$.
$x_D = x_A + x_C - x_B = 6 + (-4) - 2 = 0$
$y_D = y_A + y_C - y_B = 0 + 3 - (-3) = 6$
Получаем вершину $D_1(0; 6)$. Эта точка не находится в четвертой координатной четверти ($x=0$, $y>0$).

Случай 2: Вершины A и D — противоположные (параллелограмм ABDC). Диагонали — AD и BC. Тогда $B + C = A + D$, откуда $D = B + C - A$.
$x_D = x_B + x_C - x_A = 2 + (-4) - 6 = -8$
$y_D = y_B + y_C - y_A = -3 + 3 - 0 = 0$
Получаем вершину $D_2(–8; 0)$. Эта точка не находится в четвертой координатной четверти ($x<0$, $y=0$).

Случай 3: Вершины C и D — противоположные (параллелограмм ACBD). Диагонали — AB и CD. Тогда $A + B = C + D$, откуда $D = A + B - C$.
$x_D = x_A + x_B - x_C = 6 + 2 - (-4) = 12$
$y_D = y_A + y_B - y_C = 0 + (-3) - 3 = -6$
Получаем вершину $D_3(12; –6)$.

Проверим, находится ли эта точка в четвертой координатной четверти. Условие для четвертой четверти: $x > 0$ и $y < 0$. Координаты точки $D_3(12; –6)$ удовлетворяют этому условию, так как $12 > 0$ и $-6 < 0$.

Следовательно, искомые координаты четвертой вершины — (12; –6).

Ответ: (12; –6)

б)

Пусть даны две вершины параллелограмма A(2; 0), B(–3; –7) и точка пересечения его диагоналей M(5; –3). Найдем координаты двух других вершин, C и D.

Основное свойство диагоналей параллелограмма заключается в том, что они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Значит, точка M является серединой обеих диагоналей.

Сначала определим, являются ли данные вершины A и B смежными или противоположными. Если бы они были противоположными, то точка M была бы серединой отрезка AB. Найдем координаты середины отрезка AB по формулам:
$x_{сер} = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2 + (-3)}{2} = -\frac{1}{2}$
$y_{сер} = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{0 + (-7)}{2} = -\frac{7}{2} = -3.5$
Полученные координаты (–0.5; –3.5) не совпадают с координатами точки M(5; –3). Следовательно, вершины A и B не могут быть противоположными, а значит, они являются смежными.

Пусть искомый параллелограмм — ABCD. Тогда A и B — смежные вершины, а C и D — две другие вершины. Диагоналями являются отрезки AC и BD. Точка M является серединой как AC, так и BD.

Найдем координаты вершины C, используя тот факт, что M — середина AC. Пусть C имеет координаты $(x_C; y_C)$. Формула середины отрезка:
$x_M = \frac{x_A + x_C}{2} \implies 5 = \frac{2 + x_C}{2} \implies 10 = 2 + x_C \implies x_C = 8$
$y_M = \frac{y_A + y_C}{2} \implies -3 = \frac{0 + y_C}{2} \implies -6 = 0 + y_C \implies y_C = -6$
Координаты вершины C: (8; –6).

Аналогично найдем координаты вершины D, зная, что M — середина BD. Пусть D имеет координаты $(x_D; y_D)$.
$x_M = \frac{x_B + x_D}{2} \implies 5 = \frac{-3 + x_D}{2} \implies 10 = -3 + x_D \implies x_D = 13$
$y_M = \frac{y_B + y_D}{2} \implies -3 = \frac{-7 + y_D}{2} \implies -6 = -7 + y_D \implies y_D = 1$
Координаты вершины D: (13; 1).

Таким образом, две другие вершины параллелограмма имеют координаты (8; –6) и (13; 1).

Ответ: (8; –6) и (13; 1)