Номер 3.8, страница 63 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

3.8. В параллелограмме $ABCD$ на сторонах $AD$ и $BC$ отмечены соответственно точки $P$ и $F$, при этом $FB = PD$. Докажите, что четырехугольник $AFCP$ — параллелограмм.

Поскольку четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, его противолежащие стороны $AD$ и $BC$ параллельны и равны по длине. То есть, $AD \parallel BC$ и $AD = BC$.

Рассмотрим четырехугольник $AFCP$. Его стороны $AP$ и $FC$ являются частями сторон $AD$ и $BC$ исходного параллелограмма. Так как прямые, содержащие стороны $AD$ и $BC$, параллельны, то и отрезки $AP$ и $FC$, лежащие на этих прямых, также параллельны друг другу: $AP \parallel FC$.

Теперь найдем длины этих сторон. Точка $P$ лежит на стороне $AD$, поэтому длина отрезка $AP$ вычисляется как разность длин отрезков $AD$ и $PD$: $AP = AD - PD$. Аналогично, точка $F$ лежит на стороне $BC$, поэтому длина отрезка $FC$ равна $FC = BC - FB$.

В условии задачи дано, что $FB = PD$. Используя это равенство, а также свойство параллелограмма $AD = BC$, мы можем сравнить длины сторон $AP$ и $FC$. Так как $AD = BC$ и $PD = FB$, то разности $AD - PD$ и $BC - FB$ также равны. Следовательно, $AP = FC$.

Мы установили, что в четырехугольнике $AFCP$ одна пара противолежащих сторон, а именно $AP$ и $FC$, одновременно и параллельна ($AP \parallel FC$), и равна по длине ($AP = FC$). Согласно одному из признаков параллелограмма, если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, доказано, что четырехугольник $AFCP$ — параллелограмм.

Ответ: Четырехугольник $AFCP$ является параллелограммом. Доказательство основано на признаке параллелограмма: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то он является параллелограммом. В данном случае было показано, что стороны $AP$ и $FC$ равны ($AP = AD - PD = BC - FB = FC$) и параллельны (поскольку лежат на параллельных прямых $AD$ и $BC$).