Номер 4.3, страница 65 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

4.3. a) Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$.

В треугольнике $BOC$ проведена медиана $OM$, $\angle OCM = 36^{\circ}$.

Найдите угол $AOM$.

б) Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$.

В треугольнике $COD$ проведена биссектриса $ON$, $\angle OCN = 27^{\circ}$.

Найдите угол $AON$.

а) В прямоугольнике $ABCD$ диагонали равны и точкой пересечения $O$ делятся пополам, поэтому $AO = OC = BO = OD$. Из этого следует, что треугольник $BOC$ равнобедренный, так как $BO = OC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Так как точка $M$ лежит на стороне $BC$, то $\angle OCB = \angle OCM = 36^\circ$. Следовательно, $\angle OBC$ также равен $36^\circ$. Сумма углов в треугольнике $BOC$ равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине $\angle BOC$ равен:$\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (36^\circ + 36^\circ) = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$. По условию $OM$ — медиана, проведенная к основанию $BC$ равнобедренного треугольника $BOC$. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой угла при вершине. Значит, $OM$ делит угол $\angle BOC$ пополам: $\angle MOC = \frac{1}{2}\angle BOC = \frac{108^\circ}{2} = 54^\circ$. Точки $A, O, C$ лежат на одной прямой (диагонали $AC$), образуя развернутый угол $\angle AOC = 180^\circ$. Углы $\angle AOM$ и $\angle MOC$ являются смежными, так как они имеют общую сторону $OM$, а стороны $OA$ и $OC$ являются противоположными лучами. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Отсюда находим искомый угол $\angle AOM$:$\angle AOM = 180^\circ - \angle MOC = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$.
Ответ: $126^\circ$.

б) По свойству прямоугольника, его диагонали равны и в точке пересечения $O$ делятся пополам, поэтому $OC = OD$. Следовательно, треугольник $COD$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании $CD$ равны: $\angle OCD = \angle ODC$. По условию $\angle OCN = 27^\circ$, а так как точка $N$ лежит на стороне $CD$, то $\angle OCD = 27^\circ$. Значит, $\angle ODC$ также равен $27^\circ$. Сумма углов в треугольнике $COD$ составляет $180^\circ$, поэтому угол при вершине $\angle COD$ равен:$\angle COD = 180^\circ - (\angle OCD + \angle ODC) = 180^\circ - (27^\circ + 27^\circ) = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$. В условии сказано, что $ON$ — биссектриса в треугольнике $COD$. Из обозначения $ON$ следует, что это биссектриса, выходящая из вершины $O$, то есть биссектриса угла $\angle COD$. Она делит этот угол пополам: $\angle CON = \frac{1}{2}\angle COD = \frac{126^\circ}{2} = 63^\circ$. Точки $A, O, C$ лежат на одной прямой (диагональ $AC$), поэтому угол $\angle AOC$ является развернутым и равен $180^\circ$. Углы $\angle AON$ и $\angle CON$ — смежные, так как у них общая сторона $ON$, а стороны $OA$ и $OC$ лежат на одной прямой. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$.$\angle AON = 180^\circ - \angle CON = 180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$.
Ответ: $117^\circ$.