Номер 3.9, страница 63 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB$ и $BC$. По условию, $AC = 14$ см и периметр $P_{ABC} = 50$ см. Так как $AB = BC$, периметр можно записать как $P_{ABC} = 2 \cdot AB + AC$.

Найдем длину боковой стороны:

$50 = 2 \cdot AB + 14$

$2 \cdot AB = 50 - 14 = 36$

$AB = 18$ см.

Следовательно, боковые стороны $AB = BC = 18$ см.

Пусть $M$ — точка на основании $AC$. Через $M$ проведены прямые $ML \parallel BC$ (где $L$ лежит на $AB$) и $MK \parallel AB$ (где $K$ лежит на $BC$). Рассмотрим полученный четырехугольник $BLMK$.

Вид четырехугольника: По построению его противоположные стороны попарно параллельны: $ML \parallel BC$ (значит, $ML \parallel BK$) и $MK \parallel AB$ (значит, $MK \parallel BL$). Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

Периметр четырехугольника: Периметр параллелограмма $P_{BLMK} = BL + LM + MK + KB$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Рассмотрим треугольник $ALM$. Так как $ML \parallel BC$, то $\angle AML = \angle BCA$ как соответственные углы при секущей $AC$. Поскольку $\angle LAM$ (тот же угол, что и $\angle BAC$) равен $\angle BCA$, то $\angle LAM = \angle AML$. Следовательно, треугольник $ALM$ — равнобедренный, и $AL = LM$. Аналогично рассмотрим треугольник $CKM$. Так как $MK \parallel AB$, то $\angle CMK = \angle BAC$ как соответственные углы. Поскольку $\angle KCM$ (тот же угол, что и $\angle BCA$) равен $\angle BAC$, то $\angle KCM = \angle CMK$. Следовательно, треугольник $CKM$ — равнобедренный, и $CK = MK$.

Подставим найденные равенства в формулу периметра:

$P_{BLMK} = BL + LM + MK + KB = BL + AL + CK + KB$.

Сгруппировав слагаемые, получим: $P_{BLMK} = (BL + AL) + (KB + CK)$. Сумма $BL + AL$ равна длине всей стороны $AB$, а сумма $KB + CK$ равна длине всей стороны $BC$. Таким образом, периметр параллелограмма равен сумме длин боковых сторон исходного треугольника:

$P_{BLMK} = AB + BC = 18 + 18 = 36$ см.

Ответ: Полученный четырехугольник — параллелограмм, его периметр равен 36 см.

Дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC = 8$ см. Точка $M$ принадлежит основанию $AC$. Через точку $M$ проведены прямые, параллельные сторонам $AB$ и $BC$, которые пересекают стороны $BC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Это означает, что $MK \parallel AB$ и $ML \parallel BC$. Рассмотрим четырехугольник с вершинами $B, L, M, K$.

Доказательство: По построению, сторона $MK$ четырехугольника $BLMK$ параллельна стороне $AB$, а значит, и отрезку $BL$, который на ней лежит ($MK \parallel BL$). Также по построению, сторона $ML$ параллельна стороне $BC$, а значит, и отрезку $BK$ ($ML \parallel BK$). Поскольку у четырехугольника $BLMK$ противоположные стороны попарно параллельны, он является параллелограммом по определению.

Нахождение периметра: Периметр параллелограмма $P_{BLMK}$ равен сумме длин его сторон: $P_{BLMK} = BL + LM + MK + KB$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. В треугольнике $ALM$ имеем $ML \parallel BC$, следовательно, $\angle AML = \angle BCA$ (соответственные углы). Отсюда $\angle LAM = \angle AML$, поэтому $\triangle ALM$ — равнобедренный, и $AL = LM$. В треугольнике $CKM$ имеем $MK \parallel AB$, следовательно, $\angle CMK = \angle BAC$. Отсюда $\angle KCM = \angle CMK$, поэтому $\triangle CKM$ — равнобедренный, и $CK = MK$.

Подставим $LM = AL$ и $MK = CK$ в формулу периметра: $P_{BLMK} = BL + AL + CK + KB$. Сгруппируем слагаемые: $P_{BLMK} = (BL + AL) + (CK + KB)$. Это равно $AB + BC$. Подставляя известные длины боковых сторон, получаем: $P_{BLMK} = 8 + 8 = 16$ см.

Ответ: Четырехугольник $MKBL$ является параллелограммом, и его периметр равен 16 см.