Номер 3.5, страница 63 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

3.5. В треугольнике $ABC$ медиану $AM$ продлили за точку $M$ и на продолжении отметили точку $N$ так, что $AN = 2AM$. Докажите, что $ABNC$ — параллелограмм.

Рассмотрим четырехугольник $ABNC$. Его диагоналями являются отрезки $AN$ и $BC$. Для того чтобы доказать, что $ABNC$ — параллелограмм, достаточно показать, что его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

1. По условию, $AM$ — медиана треугольника $ABC$. По определению медианы, она соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Следовательно, точка $M$ является серединой стороны $BC$. Это означает, что $BM = MC$.

2. По условию, медиана $AM$ продлена за точку $M$ до точки $N$ так, что $AN = 2AM$. Поскольку точки $A$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой, длина отрезка $AN$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MN$, то есть $AN = AM + MN$. Подставим в это равенство данное из условия $AN = 2AM$: $$2AM = AM + MN$$ Вычитая $AM$ из обеих частей равенства, получаем: $$AM = MN$$ Это означает, что точка $M$ является серединой отрезка $AN$.

Таким образом, мы установили, что диагонали четырехугольника $ABNC$ (отрезки $AN$ и $BC$) пересекаются в точке $M$, которая является серединой каждой из них.

Согласно одному из признаков параллелограмма, если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $ABNC$ — параллелограмм.

Ответ: что и требовалось доказать.