Номер 2.16, страница 61 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.16. В параллелограмме ABCD на сторонах AD и BC отмечены точки P и F соответственно, при этом $\angle AFB = \angle CPD$. Докажите, что четырехугольник AFCP — параллелограмм.

Рассмотрим треугольники $\triangle AFB$ и $\triangle CPD$.

Поскольку $ABCD$ является параллелограммом, его противолежащие стороны и углы равны. В частности, $AB = CD$ и $\angle ABC = \angle ADC$. Также, стороны $AD$ и $BC$ параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

Сравним треугольники $\triangle AFB$ и $\triangle CPD$ по следующим элементам:

1. $AB = CD$, так как это противолежащие стороны параллелограмма $ABCD$.

2. $\angle AFB = \angle CPD$, согласно условию задачи.

3. Угол $\angle FBA$ совпадает с углом $\angle ABC$, поскольку точка $F$ лежит на отрезке $BC$. Аналогично, угол $\angle PDC$ совпадает с углом $\angle ADC$, так как точка $P$ лежит на отрезке $AD$. Так как противолежащие углы параллелограмма равны ($\angle ABC = \angle ADC$), то, следовательно, $\angle FBA = \angle PDC$.

Таким образом, треугольники $\triangle AFB$ и $\triangle CPD$ равны по стороне и двум углам (признак AAS). Сторона $AB$ равна стороне $CD$, а углы $\angle FBA$ и $\angle AFB$ треугольника $\triangle AFB$ соответственно равны углам $\angle PDC$ и $\angle CPD$ треугольника $\triangle CPD$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, сторона $BF$ треугольника $\triangle AFB$ равна стороне $DP$ треугольника $\triangle CPD$, то есть $BF = DP$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $AFCP$. Противолежащие стороны параллелограмма $ABCD$ равны, поэтому $AD = BC$. Мы можем выразить длины этих сторон через отрезки: $AD = AP + PD$ и $BC = BF + FC$. Приравнивая эти выражения, получаем $AP + PD = BF + FC$.

Используя доказанное ранее равенство $BF = DP$, подставим его в полученное уравнение: $AP + DP = DP + FC$. Вычитая $DP$ из обеих частей, находим, что $AP = FC$.

Стороны $AP$ и $FC$ четырехугольника $AFCP$ не только равны, но и параллельны. Это следует из того, что они лежат на параллельных прямых $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$).

Итак, в четырехугольнике $AFCP$ противолежащие стороны $AP$ и $FC$ равны и параллельны. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике одна пара противолежащих сторон равна и параллельна, то такой четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $AFCP$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что четырехугольник $AFCP$ является параллелограммом, доказано.