Номер 2.11, страница 60 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.11. В параллелограмме острый угол равен $60^{\circ}$, высота делит противолежащую сторону на отрезки, длины которых равны 3 см и 8 см. Найдите периметр параллелограмма (рассмотрите все возможные случаи).

Пусть дан параллелограмм со сторонами $a$ и $b$ и острым углом $60^\circ$. Периметр параллелограмма равен $P = 2(a + b)$. Условие, что высота делит противолежащую сторону на отрезки 3 см и 8 см, может быть реализовано в двух различных геометрических конфигурациях. Это соответствует требованию задачи рассмотреть все возможные случаи.

Случай 1. Высота опущена из вершины тупого угла

В этом случае основание высоты лежит на самой противолежащей стороне. Пусть высота опущена на сторону $a$. Тогда длина этой стороны равна сумме длин отрезков, на которые ее делит высота: $a = 3 + 8 = 11$ см.

Высота, боковая сторона $b$ и часть стороны $a$ образуют прямоугольный треугольник. Один из катетов этого треугольника, который является проекцией стороны $b$ на сторону $a$, связан со стороной $b$ и острым углом $60^\circ$ соотношением $x = b \cdot \cos(60^\circ) = \frac{b}{2}$. Этот катет $x$ является одним из двух отрезков (3 см или 8 см).

Если проекция $x$ равна 3 см, то $\frac{b}{2} = 3$, откуда $b = 6$ см. Стороны параллелограмма равны 11 см и 6 см, а периметр равен $P_1 = 2(11 + 6) = 34$ см.

Если же проекция $x$ равна 8 см, то $\frac{b}{2} = 8$, откуда $b = 16$ см. Стороны параллелограмма равны 11 см и 16 см, а периметр равен $P_2 = 2(11 + 16) = 54$ см.

Случай 2. Высота опущена из вершины острого угла

В этом случае основание высоты лежит на продолжении противолежащей стороны, так как смежный угол является тупым ($180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$). Пусть высота опущена на прямую, содержащую сторону $a$.

Под "отрезками, на которые высота делит сторону" в этой конфигурации будем понимать длины отрезков от основания высоты до вершин стороны $a$. Пусть $H$ - основание высоты, а концы стороны - $C$ и $D$. Тогда отрезки — это $HD$ и $HC$. По условию их длины равны 3 см и 8 см. Так как основание высоты лежит на продолжении стороны, одна из вершин ($D$) будет лежать между основанием высоты и другой вершиной ($C$). Следовательно, больший отрезок $HC$ равен сумме стороны $a$ и меньшего отрезка $HD$. Таким образом, $HC = 8$ см и $HD = 3$ см.

Длину стороны $a$ находим как разность этих отрезков: $a = HC - HD = 8 - 3 = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, смежной стороной $b$ и отрезком $HD$. Угол этого треугольника, прилежащий к стороне $b$, равен $180^\circ$ минус тупой угол параллелограмма ($120^\circ$), то есть $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Катет $HD$ связан с гипотенузой $b$ соотношением: $HD = b \cdot \cos(60^\circ) = \frac{b}{2}$.

Так как $HD = 3$ см, получаем $\frac{b}{2} = 3$, откуда $b = 6$ см.

В этом случае стороны параллелограмма равны 5 см и 6 см. Периметр равен $P_3 = 2(5 + 6) = 22$ см.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи и получили три различных значения для периметра.

Ответ: 22 см, 34 см или 54 см.