Номер 2.18, страница 61 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.18. На сторонах параллелограмма $ABCD$ построены равносторонние треугольники $APB$ и $BKC$. Докажите, что треугольник $PKD$ является равносторонним.

Для доказательства того, что треугольник $PKD$ является равносторонним, мы докажем равенство его сторон: $PK = KD = DP$. Мы сделаем это, доказав равенство нескольких вспомогательных треугольников, построенных на сторонах параллелограмма.

Воспользуемся свойствами фигур, данных в условии:

• Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны равны ($AB = CD$, $BC = AD$), противоположные углы равны ($\angle DAB = \angle BCD$), а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$ ($\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ$).
• Поскольку $\triangle APB$ — равносторонний, то $AP = PB = AB$ и все его углы равны $60^\circ$ ($\angle PAB = \angle ABP = 60^\circ$).
• Поскольку $\triangle BKC$ — равносторонний, то $BK = KC = BC$ и все его углы равны $60^\circ$ ($\angle KBC = \angle BCK = 60^\circ$).

Будем считать, что равносторонние треугольники построены на внешних сторонах параллелограмма, как это обычно предполагается в таких задачах.

Рассмотрим треугольники $\triangle PAD$, $\triangle KCD$ и $\triangle PBK$. Докажем их конгруэнтность по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

1. Сравнение $\triangle PAD$ и $\triangle KCD$.

- Сравним стороны: $PA = AB$ (из свойств $\triangle APB$), а $CD = AB$ (из свойств параллелограмма). Следовательно, $PA = CD$. $AD = BC$ (из свойств параллелограмма), а $KC = BC$ (из свойств $\triangle BKC$). Следовательно, $AD = KC$.

- Сравним углы между этими сторонами: $\angle PAD = \angle PAB + \angle DAB = 60^\circ + \angle DAB$. $\angle KCD = \angle KCB + \angle BCD = 60^\circ + \angle BCD$. Так как в параллелограмме $\angle DAB = \angle BCD$, то $\angle PAD = \angle KCD$.

Поскольку две стороны и угол между ними в $\triangle PAD$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними в $\triangle KCD$, то $\triangle PAD \cong \triangle KCD$. Из этого следует равенство их третьих сторон: $PD = KD$.

2. Сравнение $\triangle PBK$ и $\triangle PAD$.

- Сравним стороны: $PB = AB$ и $PA = AB$ (из свойств $\triangle APB$). Следовательно, $PB = PA$. $BK = BC$ (из свойств $\triangle BKC$), а $AD = BC$ (из свойств параллелограмма). Следовательно, $BK = AD$.

- Сравним углы между этими сторонами: $\angle PAD = 60^\circ + \angle DAB$. Угол $\angle PBK$ найдем, рассмотрев углы вокруг вершины $B$. Сумма углов вокруг точки составляет $360^\circ$. Таким образом: $\angle PBK = 360^\circ - \angle ABP - \angle ABC - \angle KBC$. Подставим известные значения: $\angle PBK = 360^\circ - 60^\circ - \angle ABC - 60^\circ = 240^\circ - \angle ABC$. Из свойств параллелограмма $\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB$. Подставим это выражение: $\angle PBK = 240^\circ - (180^\circ - \angle DAB) = 240^\circ - 180^\circ + \angle DAB = 60^\circ + \angle DAB$. Таким образом, $\angle PBK = \angle PAD$.

Поскольку две стороны и угол между ними в $\triangle PBK$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними в $\triangle PAD$, то $\triangle PBK \cong \triangle PAD$. Из этого следует равенство их третьих сторон: $PK = PD$.

Вывод

Из доказанных равенств $PD = KD$ и $PK = PD$ следует, что все три стороны треугольника $PKD$ равны между собой: $PK = KD = PD$. Следовательно, треугольник $PKD$ является равносторонним, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.