Номер 3.7, страница 63 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

3.7. а) На рисунке 113 изображен параллелограмм $ABCD$, точка пересечения диагоналей $O$ принадлежит отрезку $LM$ с концами на сторонах параллелограмма. Докажите, что $ALCM$ — параллелограмм.

Рис. 113

б) На рисунке 114 изображен параллелограмм $ABCD$, точка пересечения диагоналей $O$ принадлежит отрезку $PS$ с концами на сторонах параллелограмма. Докажите, что $PBSD$ — параллелограмм.

Рис. 114

а)

Рассмотрим четырехугольник $ALCM$. Чтобы доказать, что он является параллелограммом, воспользуемся одним из его признаков: если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Диагонали четырехугольника $ALCM$ — это отрезки $AC$ и $LM$, которые по условию пересекаются в точке $O$.

1. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, $AO = OC$.

2. Теперь докажем, что точка $O$ делит пополам и диагональ $LM$, то есть $OM = OL$. Для этого рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle COL$:

• $AO = CO$ (по свойству диагоналей параллелограмма).
• Поскольку $AD \parallel BC$ (как противоположные стороны параллелограмма), то углы $\angle OAM$ и $\angle OCL$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.
• Углы $\angle AOM$ и $\angle COL$ равны как вертикальные.

Таким образом, $\triangle AOM \cong \triangle COL$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $OM = OL$.

3. Мы показали, что в четырехугольнике $ALCM$ диагонали $AC$ и $LM$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам ($AO=OC$ и $OM=OL$). Следовательно, по признаку параллелограмма, $ALCM$ — параллелограмм.

Ответ: Доказано, что $ALCM$ — параллелограмм.

б)

Рассмотрим четырехугольник $PBSD$. Чтобы доказать, что он является параллелограммом, воспользуемся признаком: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Рассмотрим стороны $PB$ и $SD$.

1. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны $AB$ и $DC$ параллельны, то есть $AB \parallel DC$. Поскольку точка $P$ лежит на стороне $AB$, а точка $S$ — на стороне $DC$, отрезки $PB$ и $SD$ также лежат на параллельных прямых. Следовательно, $PB \parallel SD$.

2. Теперь докажем, что длины этих сторон равны, то есть $PB = SD$. Для этого рассмотрим треугольники $\triangle PBO$ и $\triangle SDO$:

• $BO = DO$ (по свойству диагоналей параллелограмма $ABCD$).
• Поскольку $AB \parallel DC$, углы $\angle PBO$ и $\angle SDO$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD$.
• Углы $\angle POB$ и $\angle SOD$ равны как вертикальные.

Таким образом, $\triangle PBO \cong \triangle SDO$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны: $PB = SD$.

3. Мы показали, что в четырехугольнике $PBSD$ две противоположные стороны $PB$ и $SD$ равны и параллельны. Следовательно, по признаку параллелограмма, $PBSD$ — параллелограмм.

Ответ: Доказано, что $PBSD$ — параллелограмм.