Номер 4.4, страница 65 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

4.4. a) В прямоугольнике $ABCD$ $BD = 16$ см, $\angle ACD = 60^\circ$. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его большей стороны.

б) В прямоугольнике $ABCD$ $AC = 12$ см, $\angle ADB = 60^\circ$. Найдите периметр треугольника $AOD$.

а)

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$.
По свойству прямоугольника, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.
Следовательно, $AC = BD = 16$ см.
$OC = OD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.
Рассмотрим треугольник $OCD$. Так как $OC = OD = 8$ см, то он является равнобедренным.
По условию, $\angle ACD = 60^\circ$, то есть $\angle OCD = 60^\circ$.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит $\angle ODC = \angle OCD = 60^\circ$.
Так как два угла в треугольнике $OCD$ равны $60^\circ$, то и третий угол $\angle COD = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$.
Следовательно, треугольник $OCD$ является равносторонним, и все его стороны равны: $CD = OC = OD = 8$ см.
Теперь найдем вторую сторону прямоугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$ (угол $\angle D = 90^\circ$).
По теореме Пифагора: $AC^2 = AD^2 + CD^2$.
$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 16^2 - 8^2 = 256 - 64 = 192$.
$AD = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.
Сравним стороны прямоугольника: $CD = 8$ см и $AD = 8\sqrt{3}$ см.
Так как $\sqrt{3} > 1$, то $AD > CD$. Значит, $AD$ — большая сторона.
Расстояние от точки пересечения диагоналей $O$ до стороны прямоугольника равно половине длины смежной стороны. Таким образом, расстояние от точки $O$ до большей стороны $AD$ равно половине меньшей стороны $CD$.
Искомое расстояние равно $\frac{CD}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
Ответ: 4 см.

б)

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$.
По свойству прямоугольника, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.
Из условия $AC = 12$ см, следует, что $BD = 12$ см.
$AO = OD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.
Рассмотрим треугольник $AOD$. Так как $AO = OD = 6$ см, то он является равнобедренным.
По условию, $\angle ADB = 60^\circ$, что является одним из углов при основании этого треугольника ($\angle ODA = 60^\circ$).
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит $\angle OAD = \angle ODA = 60^\circ$.
Так как два угла в треугольнике $AOD$ равны $60^\circ$, то он является равносторонним.
Следовательно, все его стороны равны: $AD = AO = OD = 6$ см.
Периметр треугольника $AOD$ равен сумме длин его сторон:
$P_{AOD} = AO + OD + AD = 6 + 6 + 6 = 18$ см.
Ответ: 18 см.