Номер 4.10, страница 66 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

4.10. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит пересекаемую ею сторону на отрезки 7 см и 8 см. Найдите периметр прямоугольника. Рассмотрите все возможные случаи.

Пусть дан прямоугольник. Биссектриса одного из его углов ($90^\circ$) делит этот угол на два по $45^\circ$. Пусть биссектриса выходит из вершины $A$ и пересекает противолежащую сторону в точке $K$. При этом образуется прямоугольный треугольник (например, $\triangle ABK$, если $K$ на стороне $BC$), у которого один из острых углов равен $45^\circ$. Следовательно, второй острый угол также равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что треугольник, отсекаемый биссектрисой, является равнобедренным. Таким образом, сторона прямоугольника, прилежащая к углу, из которого проведена биссектриса, равна отрезку, который биссектриса отсекает на пересекаемой стороне (например, $AB = BK$).

По условию задачи, биссектриса делит сторону на отрезки длиной $7$ см и $8$ см. Следовательно, полная длина этой стороны прямоугольника составляет $7 + 8 = 15$ см. Другая сторона прямоугольника, согласно свойству равнобедренного треугольника, должна быть равна одному из этих отрезков. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1. Одна сторона прямоугольника равна $15$ см, а другая равна меньшему из отрезков, то есть $7$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны $a = 7 \text{ см}$ и $b = 15 \text{ см}$. В этом случае биссектриса угла, прилежащего к стороне длиной 7 см, отсекает на стороне длиной 15 см отрезок равный 7 см, а второй отрезок будет равен $15 - 7 = 8$ см, что соответствует условию.

Периметр прямоугольника находим по формуле $P = 2(a+b)$:$P_1 = 2(7 + 15) = 2 \cdot 22 = 44 \text{ см}$.

Ответ: $44 \text{ см}$.

Случай 2. Одна сторона прямоугольника равна $15$ см, а другая равна большему из отрезков, то есть $8$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны $a = 8 \text{ см}$ и $b = 15 \text{ см}$. В этом случае биссектриса угла, прилежащего к стороне длиной 8 см, отсекает на стороне длиной 15 см отрезок равный 8 см, а второй отрезок будет равен $15 - 8 = 7$ см, что также соответствует условию.

Периметр прямоугольника находим по той же формуле $P = 2(a+b)$:$P_2 = 2(8 + 15) = 2 \cdot 23 = 46 \text{ см}$.

Ответ: $46 \text{ см}$.