Номер 5.3, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5.3. a) Один из углов ромба равен $60^\circ$, меньшая диагональ равна $10 \text{ см}$. Найдите периметр ромба.

б) Периметр ромба равен $12 \text{ дм}$, меньшая диагональ равна $3 \text{ дм}$. Найдите градусные меры углов ромба.

а)

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Обозначим сторону ромба буквой $a$. Периметр ромба $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$.

По условию, один из углов ромба равен $60^\circ$. В ромбе противолежащие углы равны, а сумма соседних углов равна $180^\circ$. Следовательно, углы ромба равны $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$ и $120^\circ$.

Меньшая диагональ соединяет вершины тупых углов ($120^\circ$). Эта диагональ делит ромб на два одинаковых треугольника. Рассмотрим один из этих треугольников. Две его стороны являются сторонами ромба, а угол между ними — это острый угол ромба, равный $60^\circ$.

Таким образом, мы имеем треугольник, у которого две стороны равны ($a$), а угол между ними составляет $60^\circ$. Такой треугольник является равнобедренным. Углы при его основании равны и вычисляются как $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Поскольку все три угла треугольника равны $60^\circ$, этот треугольник является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны. Третья сторона этого треугольника — это меньшая диагональ ромба.

Следовательно, сторона ромба $a$ равна его меньшей диагонали. По условию, меньшая диагональ равна 10 см, значит, $a = 10$ см.

Теперь найдем периметр ромба:
$P = 4a = 4 \cdot 10 = 40$ см.

Ответ: 40 см.

б)

Периметр ромба равен 12 дм. Так как у ромба все четыре стороны равны, мы можем найти длину одной стороны $a$:
$a = P / 4 = 12 / 4 = 3$ дм.

Меньшая диагональ ромба делит его на два одинаковых треугольника. Стороны одного из таких треугольников — это две стороны ромба и меньшая диагональ.

Длины сторон этого треугольника равны $a = 3$ дм, $a = 3$ дм и, по условию, меньшая диагональ равна 3 дм.

Поскольку все три стороны этого треугольника равны, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$.

Один из углов этого треугольника является углом ромба. Таким образом, один из углов ромба равен $60^\circ$.

В ромбе сумма соседних углов равна $180^\circ$. Найдем второй угол ромба:
$180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Противолежащие углы в ромбе равны, следовательно, углы ромба — это два угла по $60^\circ$ и два угла по $120^\circ$.

Ответ: $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$.