Номер 5.5, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5.5. a) Высота ромба относится к его стороне как $1 : 2$. Найдите больший угол ромба.

б) Один из углов ромба равен $30^\circ$. Найдите отношение высоты ромба к его периметру.

а)

Пусть сторона ромба равна $a$, а его высота — $h$. По условию задачи, отношение высоты к стороне равно $1 : 2$, то есть:

$\frac{h}{a} = \frac{1}{2}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой ромба, его стороной и частью другой стороны. В этом треугольнике сторона ромба $a$ является гипотенузой, а высота $h$ — катетом, противолежащим острому углу ромба, который мы обозначим как $\alpha$.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{a}$

Подставим известное нам отношение:

$\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$

Отсюда находим, что острый угол ромба равен:

$\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ$

Сумма соседних углов в ромбе равна $180^\circ$. Обозначим больший (тупой) угол ромба как $\beta$. Тогда:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$

Таким образом, больший угол ромба равен $150^\circ$.

Ответ: $150^\circ$.

б)

Пусть сторона ромба равна $a$, а его высота — $h$. Один из углов ромба равен $30^\circ$. Поскольку этот угол меньше $90^\circ$, это острый угол ромба. Обозначим его как $\alpha = 30^\circ$.

Высота ромба $h$ связана со стороной $a$ и острым углом $\alpha$ через синус этого угла:

$h = a \cdot \sin(\alpha)$

Подставим значение угла $\alpha = 30^\circ$:

$h = a \cdot \sin(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$

Периметр ромба $P$ равен сумме длин его четырех равных сторон:

$P = 4a$

Теперь найдем отношение высоты ромба к его периметру:

$\frac{h}{P} = \frac{\frac{a}{2}}{4a} = \frac{a}{2 \cdot 4a} = \frac{a}{8a}$

Сократив $a$, получаем:

$\frac{h}{P} = \frac{1}{8}$

Следовательно, отношение высоты ромба к его периметру равно $1:8$.

Ответ: $1:8$.