Номер 5.6, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5.6. a) Высота ромба делит его сторону на равные отрезки по 4 см. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

б) Высота ромба делит его сторону на равные отрезки по 5 см. Найдите угол между двумя высотами, проведенными из одной вершины тупого угла ромба.

а) Пусть дан ромб, сторона которого равна $a$. Высота, проведенная к одной из сторон, делит ее на два равных отрезка по 4 см. Это означает, что основание высоты является серединой стороны. Следовательно, длина стороны ромба $a = 4 + 4 = 8$ см.

Пусть ромб называется ABCD, а высота $BH$ проведена из вершины B к стороне AD. Образуется прямоугольный треугольник ABH, где AB — гипотенуза (сторона ромба, $AB = a = 8$ см), а AH — катет ($AH = 4$ см).

Из треугольника ABH найдем острый угол ромба $\angle A$:

$\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB} = \frac{4 \text{ см}}{8 \text{ см}} = \frac{1}{2}$

Таким образом, $\angle A = 60^\circ$.

Меньшая диагональ ромба лежит напротив его острого угла. В нашем случае это диагональ BD. Рассмотрим треугольник ABD. Он является равнобедренным, так как $AB = AD = 8$ см. Угол между этими сторонами $\angle A = 60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$ является равносторонним.

Следовательно, диагональ $BD = AB = AD = 8$ см. Это и есть меньшая диагональ ромба.

Ответ: 8 см.

б) По условию, высота ромба делит его сторону на два равных отрезка по 5 см. Следовательно, сторона ромба $a = 5 + 5 = 10$ см. Пусть ромб называется ABCD.

Аналогично пункту а), найдем острый угол ромба, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный стороной (гипотенуза), высотой и половиной стороны (катет). Пусть $\angle A$ — острый угол.

$\cos(\angle A) = \frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = \frac{1}{2}$

Отсюда, острый угол ромба $\angle A = 60^\circ$. Тогда и противолежащий ему угол $\angle C = 60^\circ$.

Тупые углы ромба равны $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Пусть $\angle B = \angle D = 120^\circ$.

Проведем две высоты из вершины одного тупого угла, например, из вершины D, на прилежащие стороны AB и BC. Обозначим основания высот как $H_1$ на AB и $H_2$ на BC. Поскольку углы A и C, к которым прилегают эти стороны, острые, основания высот $H_1$ и $H_2$ будут лежать на самих отрезках AB и BC.

Рассмотрим четырехугольник $H_1BDH_2$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$. В этом четырехугольнике нам известны три угла:
1. $\angle DH_1B = 90^\circ$ (так как $DH_1$ — высота).
2. $\angle DH_2B = 90^\circ$ (так как $DH_2$ — высота).
3. $\angle H_1BH_2 = \angle B = 120^\circ$ (тупой угол ромба).

Искомый угол между высотами — это $\angle H_1DH_2$. Найдем его из уравнения для суммы углов четырехугольника:

$\angle H_1DH_2 + \angle DH_1B + \angle H_1BH_2 + \angle BH_2D = 360^\circ$

$\angle H_1DH_2 + 90^\circ + 120^\circ + 90^\circ = 360^\circ$

$\angle H_1DH_2 + 300^\circ = 360^\circ$

$\angle H_1DH_2 = 60^\circ$

Таким образом, угол между высотами, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

Ответ: $60^\circ$.