Номер 6.2, страница 69 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

6.2. a) Две вершины квадрата имеют координаты $(-3; -1)$ и $(5; -1)$. Найдите координаты остальных вершин квадрата. Рассмотрите все возможные случаи.

б) Две вершины квадрата имеют координаты $(-4; -2)$ и $(6; -2)$, точка пересечения диагоналей имеет координаты $(1; 3)$. Найдите координаты остальных вершин квадрата.

а)

Пусть даны вершины квадрата А и В с координатами A(-3; -1) и B(5; -1). Для нахождения координат двух других вершин необходимо рассмотреть два возможных случая: когда данные вершины являются смежными и когда они являются противолежащими.

Случай 1: Вершины A и B являются смежными.

В этом случае отрезок AB является стороной квадрата. Найдем длину этой стороны по формуле расстояния между двумя точками:

$a = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8$

Длина стороны квадрата равна 8. Так как сторона AB лежит на прямой $y = -1$ (горизонтальна), то две другие стороны (AD и BC) будут ей перпендикулярны, то есть вертикальны. Их длина также равна 8. Это означает, что для нахождения координат вершин C и D нужно изменить y-координаты точек B и A на 8, оставив x-координаты без изменений. Существует два варианта расположения квадрата: над отрезком AB и под ним.

1. Квадрат расположен "над" стороной AB. Тогда y-координаты увеличиваются на 8:

Координаты вершины D: $(-3; -1 + 8) = (-3; 7)$

Координаты вершины C: $(5; -1 + 8) = (5; 7)$

2. Квадрат расположен "под" стороной AB. Тогда y-координаты уменьшаются на 8:

Координаты вершины D: $(-3; -1 - 8) = (-3; -9)$

Координаты вершины C: $(5; -1 - 8) = (5; -9)$

Случай 2: Вершины A и B являются противолежащими.

В этом случае отрезок AB является диагональю квадрата. Центр квадрата O является серединой диагонали AB. Найдем его координаты:

$O = \left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{-3 + 5}{2}; \frac{-1 + (-1)}{2}\right) = (1; -1)$

Вторая диагональ CD проходит через центр O, перпендикулярна диагонали AB и равна ей по длине. Длина диагонали AB равна 8. Так как AB — горизонтальный отрезок, диагональ CD будет вертикальным отрезком, проходящим через точку O(1; -1). Вершины C и D будут лежать на прямой $x=1$ на расстоянии $8/2 = 4$ единицы от центра O по вертикали.

Координаты вершины C: $(1; -1 + 4) = (1; 3)$

Координаты вершины D: $(1; -1 - 4) = (1; -5)$

Таким образом, существует три возможных пары координат для остальных вершин квадрата.

Ответ: $(-3; 7)$ и $(5; 7)$, или $(-3; -9)$ и $(5; -9)$, или $(1; 3)$ и $(1; -5)$.

б)

Пусть даны вершины квадрата A(-4; -2) и B(6; -2), а точка пересечения его диагоналей O имеет координаты (1; 3).

Сначала определим, являются ли данные вершины смежными или противолежащими. Если вершины противолежащие, то точка O должна быть серединой отрезка AB. Найдем координаты середины отрезка AB:

$M_{AB} = \left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{-4 + 6}{2}; \frac{-2 + (-2)}{2}\right) = (1; -2)$

Так как координаты середины $M_{AB}(1; -2)$ не совпадают с координатами центра квадрата $O(1; 3)$, вершины A и B не являются противолежащими. Следовательно, они смежные, и AB является стороной квадрата. Пусть вершины квадрата именуются A, B, C, D в порядке обхода.

Точка пересечения диагоналей O является серединой каждой из диагоналей (AC и BD). Используя формулу середины отрезка, мы можем найти координаты недостающих вершин C и D.

Найдем координаты вершины C, зная, что O — середина диагонали AC:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} \Rightarrow x_C = 2x_O - x_A = 2 \cdot 1 - (-4) = 2 + 4 = 6$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} \Rightarrow y_C = 2y_O - y_A = 2 \cdot 3 - (-2) = 6 + 2 = 8$

Таким образом, вершина C имеет координаты $(6; 8)$.

Найдем координаты вершины D, зная, что O — середина диагонали BD:

$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} \Rightarrow x_D = 2x_O - x_B = 2 \cdot 1 - 6 = -4$

$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} \Rightarrow y_D = 2y_O - y_B = 2 \cdot 3 - (-2) = 6 + 2 = 8$

Таким образом, вершина D имеет координаты $(-4; 8)$.

Ответ: Координаты остальных вершин квадрата: $(6; 8)$ и $(-4; 8)$.