Номер 7.1, страница 70 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.1. Прямые $A_1B_1 || A_2B_2 || A_3B$. Пользуясь данными рисунков 120, а), б), найдите длину отрезка, обозначенного буквой $x$.

а)$AA_1 = x$

$A_1A_2 = 5$

$B_1B_2 = 7$

$B_2B = 7$

б)$AA_1 = 4$

$A_1A_2 = 4$

$A_2A_3 = 4$

$B_1B_2 = 3$

$B_2B = x$

Рис. 120

a)

Согласно условию задачи, прямые $A_1B_1$, $A_2B_2$ и $A_3B$ параллельны ($A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel A_3B$). Эти параллельные прямые пересекают две другие прямые (секущие) $AF$ и $AB$. По обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Это означает, что отношение отрезков на прямой $AF$ равно отношению соответствующих отрезков на прямой $AB$. Рассмотрим отрезки, заключенные между параллельными прямыми $A_1B_1$, $A_2B_2$ и $A_3B$. Для них справедливо следующее соотношение:

$ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B} $

Из рисунка 120, а) нам известны следующие длины отрезков: $A_1A_2 = x$, $A_2A_3 = 5$, $B_1B_2 = 7$ и $B_2B = 7$. Подставим эти значения в записанную выше пропорцию:

$ \frac{x}{5} = \frac{7}{7} $

Упростим правую часть уравнения:

$ \frac{x}{5} = 1 $

Отсюда находим $x$:

$ x = 5 \cdot 1 = 5 $

Ответ: 5.

б)

Аналогично пункту а), для решения используем обобщенную теорему Фалеса. Прямые $A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel A_3B$ пересекают секущие $AF$ и $AB$.

Согласно теореме, отношение отрезков, отсекаемых на одной секущей, равно отношению соответствующих отрезков на другой секущей. Составим пропорцию для отрезков, заключенных между парами параллельных прямых:

$ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B} $

Из данных на рисунке 120, б) мы знаем длины: $A_1A_2 = 4$, $A_2A_3 = 4$, $B_1B_2 = 3$ и $B_2B = x$. Подставим эти значения в пропорцию:

$ \frac{4}{4} = \frac{3}{x} $

Упростим левую часть:

$ 1 = \frac{3}{x} $

Из этого уравнения находим значение $x$:

$ x = 3 $

Также можно было применить следствие из теоремы Фалеса: поскольку параллельные прямые отсекают на прямой $AF$ равные отрезки ($A_1A_2 = A_2A_3 = 4$), то они должны отсекать равные отрезки и на прямой $AB$. Таким образом, $B_1B_2 = B_2B$. Так как по условию $B_1B_2 = 3$, следовательно, и $x = 3$.

Ответ: 3.