Номер 7.4, страница 71 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.4. Пользуясь данными рисунков 123, а), б), найдите градусную меру угла $BAC$.

a) $\angle ACB = 32^\circ, \angle AMN = 101^\circ$

б) $\angle BNM = 57^\circ, \angle ABC = 48^\circ$

Рис. 123

Рассмотрим треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle ABC$.

По данным на рисунке 123 а), найдем длины сторон $AB$ и $AC$:
$AB = AM + MB = 6 + 6 = 12$
$AC = AN + NC = 10 + 10 = 20$

Сравним треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle ABC$. У них есть общий угол $\angle A$ (угол $\angle BAC$). Проверим отношение сторон, образующих этот угол:
$\frac{AM}{AB} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
$\frac{AN}{AC} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

Поскольку отношения сторон равны ($\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$) и угол $\angle A$ между этими сторонами является общим, то треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle ABC$ подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов: $\angle ABC = \angle AMN$. По условию дано, что $\angle AMN = 101^\circ$, следовательно, $\angle ABC = 101^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $\triangle ABC$ равна $180^\circ$. Зная два угла ($\angle ABC = 101^\circ$ и, по условию, $\angle ACB = 32^\circ$), мы можем найти третий угол $\angle BAC$:

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$
$\angle BAC + 101^\circ + 32^\circ = 180^\circ$
$\angle BAC + 133^\circ = 180^\circ$
$\angle BAC = 180^\circ - 133^\circ = 47^\circ$

Ответ: $47^\circ$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MBN$ и $\triangle ABC$.

По данным на рисунке 123 б), найдем длины сторон $AB$ и $BC$:
$AB = AM + MB = 8 + 8 = 16$
$BC = BN + NC = 10 + 10 = 20$

Сравним треугольники $\triangle MBN$ и $\triangle ABC$. У них есть общий угол $\angle B$ (угол $\angle ABC$). Проверим отношение сторон, образующих этот угол:
$\frac{BM}{AB} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
$\frac{BN}{BC} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

Поскольку отношения сторон равны ($\frac{BM}{AB} = \frac{BN}{BC}$) и угол $\angle B$ между этими сторонами является общим, то треугольники $\triangle MBN$ и $\triangle ABC$ подобны по второму признаку подобия.

Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов: $\angle BCA = \angle BNM$. По условию дано, что $\angle BNM = 57^\circ$, следовательно, $\angle BCA = 57^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $\triangle ABC$ равна $180^\circ$. Зная два угла ($\angle ABC = 48^\circ$ по условию и $\angle BCA = 57^\circ$), мы можем найти третий угол $\angle BAC$:

$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$
$\angle BAC + 48^\circ + 57^\circ = 180^\circ$
$\angle BAC + 105^\circ = 180^\circ$
$\angle BAC = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$

Ответ: $75^\circ$.