Номер 7.5, страница 72 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.5. a) В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC = 21$ см, точка $M$ — середина стороны $AD$. Найдите длины отрезков, на которые прямые $BM$ и $DB$ разделили диагональ $AC$.

б) В параллелограмме $ABCD$ диагональ $BD = 27$ см, точка $K$ — середина стороны $CD$. Найдите длины отрезков, на которые прямые $CA$ и $AK$ разделили диагональ $BD$.

а)

Пусть $ABCD$ — заданный параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ как $O$.

По свойству диагоналей параллелограмма, точка $O$ является серединой диагонали $AC$. Так как длина $AC = 21$ см, то:

$AO = OC = \frac{1}{2} AC = \frac{21}{2} = 10.5$ см.

Таким образом, прямая $DB$ делит диагональ $AC$ на два отрезка $AO$ и $OC$ длиной 10.5 см каждый.

Теперь рассмотрим, как прямая $BM$ делит диагональ $AC$. Пусть прямая $BM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $P$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. В этом треугольнике:

• $AO$ является медианой, так как $O$ — середина стороны $BD$.
• $BM$ является медианой, так как $M$ — середина стороны $AD$ по условию.

Точка $P$ является точкой пересечения медиан $AO$ и $BM$ треугольника $\triangle ABD$. Следовательно, $P$ — центроид этого треугольника.

По свойству медиан треугольника, они пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, точка $P$ делит медиану $AO$ в отношении $AP:PO = 2:1$.

Зная длину отрезка $AO = 10.5$ см, найдем длины отрезков $AP$ и $PO$:

$AP = \frac{2}{3} AO = \frac{2}{3} \times 10.5 = 2 \times 3.5 = 7$ см.

$PO = \frac{1}{3} AO = \frac{1}{3} \times 10.5 = 3.5$ см.

Прямые $BM$ и $DB$ пересекают диагональ $AC$ в точках $P$ и $O$ соответственно. Эти точки делят диагональ $AC$ на три отрезка: $AP$, $PO$ и $OC$.

Найдем длины этих отрезков:

• $AP = 7$ см
• $PO = 3.5$ см
• $OC = 10.5$ см

Проверим: $AP + PO + OC = 7 + 3.5 + 10.5 = 21$ см, что совпадает с длиной диагонали $AC$.

Ответ: длины отрезков равны 7 см, 3.5 см и 10.5 см.

б)

Пусть $ABCD$ — заданный параллелограмм. Обозначим точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ как $O$. По свойству диагоналей, точка $O$ является серединой диагонали $BD$.

Так как длина $BD = 27$ см, то:

$BO = OD = \frac{1}{2} BD = \frac{27}{2} = 13.5$ см.

Прямая $CA$ делит диагональ $BD$ на два отрезка $BO$ и $OD$ длиной 13.5 см каждый.

Теперь рассмотрим, как прямая $AK$ делит диагональ $BD$. Пусть прямая $AK$ пересекает диагональ $BD$ в точке $Q$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. В этом треугольнике:

• $DO$ является медианой, так как $O$ — середина стороны $AC$.
• $AK$ является медианой, так как $K$ — середина стороны $CD$ по условию.

Точка $Q$ является точкой пересечения медиан $DO$ и $AK$ треугольника $\triangle ACD$. Следовательно, $Q$ — центроид этого треугольника.

По свойству медиан, точка $Q$ делит медиану $DO$ в отношении $DQ:QO = 2:1$, считая от вершины $D$.

Зная длину отрезка $OD = 13.5$ см, найдем длины отрезков $DQ$ и $QO$:

$DQ = \frac{2}{3} OD = \frac{2}{3} \times 13.5 = 2 \times 4.5 = 9$ см.

$QO = \frac{1}{3} OD = \frac{1}{3} \times 13.5 = 4.5$ см.

Прямые $CA$ и $AK$ пересекают диагональ $BD$ в точках $O$ и $Q$ соответственно. Эти точки делят диагональ $BD$ на три отрезка: $BO$, $OQ$ и $QD$.

Найдем длины этих отрезков:

• $BO = 13.5$ см
• $OQ = 4.5$ см
• $QD = 9$ см

Проверим: $BO + OQ + QD = 13.5 + 4.5 + 9 = 27$ см, что совпадает с длиной диагонали $BD$.

Ответ: длины отрезков равны 13.5 см, 4.5 см и 9 см.